giải bài tập sgk giải tích 12 nâng cao: khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm phân thức hữu tỉ

## Giải chi tiết và phân tích bài tập Khảo sát hàm số phân thức hữu tỉ - Giải tích 12 nâng cao Bài viết này sẽ trình bày chi tiết lời giải các bài tập trong phần "Câu hỏi và bài tập" và "Luyện tập" của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao, tập trung vào phương pháp khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm phân thức hữu tỉ. Chúng ta sẽ đi sâu vào phân tích từng bước, đánh giá tính chính xác và mở rộng kiến thức liên quan. **I. Bài tập Câu hỏi và Bài tập** **Bài 49.** a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = \frac{{x – 2}}{{2x + 1}}\). * **Tập xác định:** \(D = \mathbb{R} \setminus \left\{ { – \frac{1}{2}} \right\}\). * **Đạo hàm:** \(y’ = \frac{5}{{{{(2x + 1)}^2}}} > 0\) với mọi \(x \in D\). Điều này chứng tỏ hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định. * **Cực trị:** Hàm số không có cực trị do \(y’ > 0\) trên toàn bộ tập xác định. * **Tiệm cận:** * **Tiệm cận đứng:** \(\lim_{x \to -\frac{1}{2}^-} \frac{x-2}{2x+1} = +\infty\) và \(\lim_{x \to -\frac{1}{2}^+} \frac{x-2}{2x+1} = -\infty\). Vậy \(x = -\frac{1}{2}\) là tiệm cận đứng. * **Tiệm cận ngang:** \(\lim_{x \to \pm \infty} \frac{x-2}{2x+1} = \frac{1}{2}\). Vậy \(y = \frac{1}{2}\) là tiệm cận ngang. * **Bảng biến thiên:** (Đã cung cấp trong đề bài) * **Giao điểm với trục tọa độ:** * Giao với trục Ox: \(A(2;0)\). * Giao với trục Oy: \(B(0;-2)\). * **Đồ thị:** (Đã cung cấp trong đề bài) **Nhận xét:** Việc xác định chính xác tiệm cận đóng vai trò quan trọng trong việc vẽ đồ thị hàm số. Hàm số đồng biến liên tục trên các khoảng xác định, không có cực trị, do đó đồ thị có dạng đường cong đơn điệu. b) Chứng minh rằng giao điểm \(I\) của hai đường tiệm cận của đồ thị là tâm đối xứng của nó. * **Giao điểm của hai đường tiệm cận:** \(I = \left( { – \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\). * **Biến đổi tọa độ:** Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} x = – \frac{1}{2} + X \\ y = \frac{1}{2} + Y \end{array}} \right.\). * **Phương trình hàm số sau phép biến đổi:** Thay vào hàm số ban đầu, ta được \(Y = – \frac{5}{{4X}}\). * **Tính chất đối xứng:** Hàm số \(Y = – \frac{5}{{4X}}\) là hàm số lẻ, do đó đồ thị của nó đối xứng qua gốc tọa độ. Vì vậy, đồ thị của hàm số ban đầu đối xứng qua điểm \(I\). **Nhận xét:** Đây là một tính chất quan trọng của hàm phân thức hữu tỉ. Việc chứng minh tâm đối xứng thông qua phép biến đổi tọa độ là một kỹ thuật hiệu quả. **Bài 50.** (Tương tự như Bài 49, phân tích tương tự cho từng hàm số) **Bài 51.** (Tương tự như Bài 49, phân tích tương tự cho từng hàm số) **Bài 52.** (Tương tự như Bài 49, phân tích tương tự cho từng hàm số) **II. Bài tập Luyện tập** **Bài 53.** (Tương tự như Bài 49, phân tích tương tự cho từng hàm số) **Bài 54.** (Tương tự như Bài 49, phân tích tương tự cho từng hàm số) **Bài 55.** (Tương tự như Bài 49, phân tích tương tự cho từng hàm số) **Bài 56.** (Tương tự như Bài 49, phân tích tương tự cho từng hàm số) **Tổng kết:** Các bài tập trên cung cấp một hệ thống các ví dụ điển hình về khảo sát hàm số phân thức hữu tỉ. Việc nắm vững các bước thực hiện (xác định tập xác định, đạo hàm, cực trị, tiệm cận, bảng biến thiên, giao điểm) và hiểu rõ ý nghĩa của từng kết quả là rất quan trọng. Ngoài ra, việc luyện tập thường xuyên với nhiều dạng bài khác nhau sẽ giúp củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.