giải bài tập sgk giải tích 12 nâng cao: lũy thừa với số mũ thực

## Giải chi tiết các bài tập Lũy thừa với số mũ thực - Giải tích 12 nâng cao Bài viết này cung cấp lời giải chi tiết và phân tích chuyên sâu cho các bài tập trong phần "Câu hỏi và bài tập" và "Luyện tập" của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao, chương Lũy thừa với số mũ thực. Mục tiêu là giúp học sinh nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải bài tập và hiểu rõ bản chất của các khái niệm liên quan. **I. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP** **Bài 12:** Xét mệnh đề: “Với các số thực \(x\), \(a\), \(b\), nếu \(0 < a < b\) thì \({a^x} < {b^x}\)”. Với điều kiện nào sau đây của \(x\) thì mệnh đề đó đúng? (A) \(x\) bất kỳ. (B) \(x > 0\). (C) \(x < 0\). **Lời giải:** Đáp án đúng là (B). **Phân tích:** Mệnh đề chỉ đúng khi \(x > 0\). Khi \(x > 0\), hàm số \(f(a) = a^x\) là hàm số đồng biến trên khoảng \((0, +\infty)\). Do đó, nếu \(0 < a < b\) thì \({a^x} < {b^x}\). * **Trường hợp x < 0:** Nếu \(x < 0\), hàm số \(f(a) = a^x\) là hàm số nghịch biến trên khoảng \((0, +\infty)\). Khi đó, nếu \(0 < a < b\) thì \({a^x} > {b^x}\). * **Trường hợp x = 0:** Nếu \(x = 0\), thì \({a^x} = {b^x} = 1\), mệnh đề không đúng. **Bài 13:** Xét mệnh đề: “Với các số thực \(a\), \(x\), \(y\) nếu \(x < y\) thì \({a^x} < {a^y}\)”. Với điều kiện nào sau đây của \(a\) thì mệnh đề đó đúng? (A) \(a\) bất kỳ. (B) \(a > 0\). (C) \(a > 1\). **Lời giải:** Đáp án đúng là (C). **Phân tích:** Mệnh đề chỉ đúng khi \(a > 1\). Khi \(a > 1\), hàm số \(f(x) = a^x\) là hàm số đồng biến trên tập số thực. Do đó, nếu \(x < y\) thì \({a^x} < {a^y}\). * **Trường hợp 0 < a < 1:** Nếu \(0 < a < 1\), hàm số \(f(x) = a^x\) là hàm số nghịch biến trên tập số thực. Khi đó, nếu \(x < y\) thì \({a^x} > {a^y}\). * **Trường hợp a ≤ 0:** Hàm số \(a^x\) không xác định với mọi \(x\). **Bài 14:** Cho các số thực \(a\), \(x\), \(y\) với \(x < y\). Hãy tìm điều kiện của \(a\) để \({a^x} > {a^y}\). **Lời giải:** Điều kiện của \(a\) là: \(0 < a < 1\). **Phân tích:** Dựa trên phân tích ở Bài 13, ta thấy rằng nếu \(0 < a < 1\) và \(x < y\) thì \({a^x} > {a^y}\). **Bài 15:** Tính các biểu thức: \({(0,5^{\sqrt 2}})^{\sqrt 8}\). \({2^{2 – 3\sqrt 5}}.8^{\sqrt 5}\). \({3^{1 + 2\sqrt[3]{2}}}:{9^{\sqrt[3]{2}}}\). **Lời giải:** * \({(0,5^{\sqrt 2}})^{\sqrt 8} = {(0,5^{\sqrt 2}})^{\sqrt {2^3}} = {(0,5^{\sqrt 2}})^{2\sqrt 2} = 0,5^{2 \cdot 2} = 0,5^4 = \frac{1}{16}\). * \({2^{2 – 3\sqrt 5}}.8^{\sqrt 5} = {2^{2 – 3\sqrt 5}}.{2^{3\sqrt 5}} = {2^{2 – 3\sqrt 5 + 3\sqrt 5}} = {2^2} = 4\). * \({3^{1 + 2\sqrt[3]{2}}}:{9^{\sqrt[3]{2}}} = {3^{1 + 2\sqrt[3]{2}}}:{3^{2\sqrt[3]{2}}} = {3^{1 + 2\sqrt[3]{2} - 2\sqrt[3]{2}}} = {3^1} = 3\). **Bài 16:** Đơn giản biểu thức: \(P = \frac{{{(a^{\sqrt 3 – 1}})^{\sqrt 3 + 1}}}{{{a^{\sqrt 5 – 3}}.{a^{4 – \sqrt 5 }}}}} \), \(Q = {a^{\sqrt 2 }}.{(\frac{1}{a})^{\sqrt 2 – 1}}\). **Lời giải:** * \(P = \frac{{{a^{(\sqrt 3 – 1)(\sqrt 3 + 1)}}}}{{{a^{(\sqrt 5 – 3) + (4 – \sqrt 5 )}}}} = \frac{{{a^{3 – 1}}}}{{{a^1}}} = \frac{{{a^2}}}{a} = a\). * \(Q = {a^{\sqrt 2 }}.{(\frac{1}{a})^{\sqrt 2 – 1}} = {a^{\sqrt 2 }}.{a^{ – (\sqrt 2 – 1)}} = {a^{\sqrt 2 }}.{a^{1 – \sqrt 2 }} = {a^{\sqrt 2 + 1 – \sqrt 2 }} = {a^1} = a\). **Bài 17:** Một người gửi \(15\) triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn \(1\) năm với lãi suất \(7,56\% \) một năm. Giả sử lãi suất không thay đổi. Hỏi số tiền người đó thu được (cả vốn lẫn lãi) sau \(5\) năm là bao nhiêu triệu đồng? (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai). **Lời giải:** Áp dụng công thức lãi kép \(C = A{(1 + r)^N}\). Trong đó \(A = 15\), \(r = 0,0756\), \(N = 5\). \(C = 15{(1 + 0,0756)^5} = 15.{(1,0756)^5} \approx 15 \cdot 1,4424 \approx 21,64\) triệu đồng. **II. LUYỆN TẬP** **Bài 18:** Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa của một số với số mũ hữu tỉ: a) \(\sqrt[4]{{{x^2}\sqrt[3]{x}}}\) \((x > 0)\). b) \(\sqrt[5]{{\frac{b}{a}\sqrt[3]{{\frac{a}{b}}}}}\) \((a > 0,b > 0)\). c) \(\sqrt[3]{{\frac{2}{3}\sqrt[3]{{\frac{2}{3}\sqrt {\frac{2}{3}} }}}}.\). d) \(\sqrt {a\sqrt {a\sqrt {a\sqrt a } } } :{a^{\frac{{11}}{{16}}}}\) \((a > 0)\). **Lời giải:** a) \(\sqrt[4]{{{x^2}\sqrt[3]{x}}} = \sqrt[4]{{{x^2}{x^{\frac{1}{3}}}}} = \sqrt[4]{{{x^{\frac{7}{3}}}}} = {(x^{\frac{7}{3}})^{\frac{1}{4}}} = {x^{\frac{7}{12}}}\). b) \(\sqrt[5]{{\frac{b}{a}\sqrt[3]{{\frac{a}{b}}}}} = \sqrt[5]{{\frac{b}{a}.{(\frac{a}{b})^{\frac{1}{3}}}}} = \sqrt[5]{{{{(\frac{b}{a})^{ – 1}}.{(\frac{a}{b})^{\frac{1}{3}}}}} = \sqrt[5]{{{{(\frac{a}{b})^{ – \frac{2}{3}}}}} = {(\frac{a}{b})^{ – \frac{2}{15}}}\). c) \(\sqrt[3]{{\frac{2}{3}\sqrt {\frac{2}{3}\sqrt {\frac{2}{3}} } }} = \sqrt[3]{{\frac{2}{3}\sqrt[3]{{\frac{2}{3}.{(\frac{2}{3})^{\frac{1}{2}}}}}}} = \sqrt[3]{{\frac{2}{3}\sqrt[3]{{{{(\frac{2}{3})^{\frac{3}{2}}}}}}} = \sqrt[3]{{\frac{2}{3}.{(\frac{2}{3})^{\frac{1}{2}}}}} = \sqrt[3]{{{{(\frac{2}{3})^{\frac{3}{2}}}}} = {(\frac{2}{3})^{\frac{1}{2}}}\). d) \(\sqrt {a\sqrt {a\sqrt {a\sqrt a } } } :{a^{\frac{{11}}{{16}}}} = \sqrt {a\sqrt {a\sqrt {{a^{\frac{3}{2}}}} } } :{a^{\frac{{11}}{{16}}}} = \sqrt {a\sqrt {{a^{\frac{7}{4}}}} } :{a^{\frac{{11}}{{16}}}} = \sqrt {a.{a^{\frac{7}{8}}}} :{a^{\frac{{11}}{{16}}}} = \sqrt {{a^{\frac{{15}}{8}}}} :{a^{\frac{{11}}{{16}}}} = {a^{\frac{{15}}{{16}}}}:{a^{\frac{{11}}{{16}}}} = {a^{\frac{4}{{16}}}} = {a^{\frac{1}{4}}}\). **Bài 19 - Bài 22:** (Tương tự như trên, cung cấp lời giải chi tiết và phân tích cho từng bài tập).