giải bài tập sgk giải tích 12 nâng cao: hàm số mũ và hàm số lôgarit

## Giải chi tiết các bài tập Hàm số mũ và Hàm số Logarit - Giải tích 12 nâng cao Bài viết này cung cấp lời giải chi tiết và phân tích chuyên sâu cho các bài tập trong phần "Câu hỏi và bài tập" và "Bài tập" của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao, tập trung vào chủ đề Hàm số mũ và Hàm số Logarit. **Bài 47: Ứng dụng của Hàm số mũ trong thực tế** Bài toán này đề cập đến mối liên hệ giữa áp lực hơi nước và nhiệt độ, được mô tả bằng công thức \(P = a \times {10^{\frac{k}{{t + 273}}}}\). Đây là một ví dụ điển hình về ứng dụng của hàm số mũ trong khoa học tự nhiên. * **Phần a:** Việc tính toán hệ số *a* đòi hỏi kỹ năng giải phương trình mũ. Ta thay các giá trị đã cho vào công thức và giải phương trình để tìm *a*. Kết quả \(a \approx 863188840.3\) cho thấy hệ số này có độ lớn đáng kể, phản ánh sự thay đổi nhanh chóng của áp lực hơi nước theo nhiệt độ. * **Phần b:** Tương tự, việc tính áp lực hơi nước ở \(40^0C\) cũng dựa trên việc thay giá trị *t* vào công thức và tính toán. Kết quả \(P \approx 52.5 mmHg\) cho thấy áp lực hơi nước giảm đáng kể khi nhiệt độ giảm. **Nhận xét:** Bài toán này không chỉ giúp củng cố kiến thức về hàm số mũ mà còn cho thấy tính ứng dụng thực tế của nó trong việc mô tả các hiện tượng vật lý. **Bài 48: Tính giới hạn của các hàm số** Bài tập này tập trung vào việc tính giới hạn của các hàm số liên quan đến hàm số mũ. * **Phần a:** Sử dụng kỹ thuật biến đổi giới hạn, ta đưa về dạng \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{3x}} – 1}}{x}\), một giới hạn quen thuộc có giá trị bằng ln(e) = 1. Do đó, giới hạn của biểu thức ban đầu là \(-3e^2\). * **Phần b:** Bài toán này đòi hỏi kỹ năng phân tích và biến đổi biểu thức để đưa về các giới hạn cơ bản. Việc tách thành hiệu hai giới hạn và sử dụng giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{kx}}}}{x}\) giúp giải quyết bài toán một cách hiệu quả. **Nhận xét:** Việc tính giới hạn đòi hỏi sự hiểu biết về các tính chất của hàm số mũ và kỹ năng biến đổi đại số. **Bài 49: Tính đạo hàm của các hàm số** Bài tập này yêu cầu tính đạo hàm của các hàm số phức tạp, kết hợp hàm số mũ và các hàm số khác. * **Phần a:** Sử dụng quy tắc đạo hàm của tích, ta có \(y’ = {e^{2x}}(2x – 1)\). * **Phần b:** Sử dụng quy tắc đạo hàm của tích và đạo hàm hàm hợp, ta thu được kết quả \(y’ = \frac{{4x\left( {{e^{4x}} + 1} \right) + 4{x^2}{e^{4x}}}}{{2\sqrt {{e^{4x}} + 1} }}\) hay \(y’ = \frac{{\left( {x + {x^2}} \right){e^{4x}} + x}}{{\sqrt {{e^{4x}} + 1} }}\). * **Phần c & d:** Sử dụng đạo hàm của hàm số lượng giác hyperbolic, ta dễ dàng tính được đạo hàm. **Nhận xét:** Bài tập này giúp rèn luyện kỹ năng tính đạo hàm của các hàm số phức tạp, kết hợp nhiều quy tắc đạo hàm khác nhau. **Bài 50: Tính chất đơn điệu của hàm số** Bài tập này yêu cầu xác định tính chất đơn điệu của hàm số mũ và logarit. * **Phần a:** Vì \(\frac{\pi }{3} > 1\), hàm số \(y = {\left( {\frac{\pi }{3}} \right)^x}\) đồng biến trên R. * **Phần b:** Vì \(\frac{3}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} < 1\), hàm số \(y = {\left( {\frac{3}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }}} \right)^x}\) nghịch biến trên R. **Nhận xét:** Việc xác định tính chất đơn điệu của hàm số dựa trên cơ số của hàm số mũ hoặc cơ số của hàm số logarit. **Bài 51: Vẽ đồ thị hàm số** Bài tập này yêu cầu vẽ đồ thị của các hàm số mũ và logarit. Việc xác định các điểm đặc biệt (ví dụ: điểm đi qua gốc tọa độ, điểm có tung độ bằng 1) và tính chất đơn điệu của hàm số giúp vẽ đồ thị chính xác hơn. **Bài 52: Ứng dụng của Logarit trong đo độ lớn âm thanh** Bài toán này minh họa ứng dụng của hàm logarit trong việc đo độ lớn âm thanh (đơn vị dB). Việc tính toán độ lớn âm thanh dựa trên công thức \(L = 10\log \frac{I}{{{I_0}}}\) cho thấy hàm logarit giúp biểu diễn các giá trị lớn một cách gọn gàng hơn. **Bài 53: Tính giới hạn sử dụng Logarit** Bài tập này sử dụng giới hạn đặc biệt \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (1 + x)}}{x} = 1\) để tính giới hạn của các hàm số chứa logarit. **Bài 54: Tính đạo hàm sử dụng Logarit** Bài tập này yêu cầu tính đạo hàm của các hàm số phức tạp chứa logarit, đòi hỏi sử dụng quy tắc đạo hàm của tích, thương và hàm hợp. **Bài 55: Tính chất đơn điệu của hàm số Logarit** Bài tập này yêu cầu xác định tính chất đơn điệu của hàm số logarit dựa trên cơ số của hàm số. **Bài 56: Vẽ đồ thị hàm số Logarit** Bài tập này yêu cầu vẽ đồ thị của các hàm số logarit, tương tự như bài 51 nhưng với hàm logarit.