giải bài tập sgk giải tích 12 nâng cao: hệ phương trình mũ và lôgarit

## Giải Chi Tiết Hệ Phương Trình Mũ và Lôgarit - Giải Tích 12 Nâng Cao Bài viết này cung cấp lời giải chi tiết và phân tích chuyên sâu cho các bài tập về hệ phương trình mũ và lôgarit trong sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao, bao gồm các bài tập trong phần "Câu hỏi và Bài tập" và "Luyện tập". Mục tiêu là giúp học sinh nắm vững phương pháp giải và hiểu rõ bản chất của các bài toán này. **I. Giải Hệ Phương Trình - Phần Câu Hỏi và Bài Tập** **Bài 72.** Giải các hệ phương trình: **a) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x + y = 20} \\ {{\log }_4}x + {{\log }_4}y = 1 + {{\log }_4}9 \end{array}} \right.\)** * **Điều kiện:** \(x > 0\), \(y > 0\). * **Phân tích:** Sử dụng tính chất của lôgarit để biến đổi phương trình thứ hai, sau đó kết hợp với phương trình thứ nhất để giải hệ. * **Lời giải:** * Hệ phương trình tương đương với: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x + y = 20} \\ {{\log }_4}xy = {{\log }_4}36 \end{array}} \right.\) * Suy ra: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x + y = 20} \\ {xy = 36} \end{array}} \right.\) * Theo định lý Viète, *x* và *y* là nghiệm của phương trình bậc hai: \(t^2 - 20t + 36 = 0\) * Giải phương trình bậc hai, ta được: \(t = 2\) hoặc \(t = 18\). * Vậy, tập nghiệm của hệ phương trình là: \(S = \{(2; 18), (18; 2)\}\). **b) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x + y = 1} \\ {4^{ – 2x}} + {4^{ – 2y}} = 0,5 \end{array}} \right.\)** * **Phân tích:** Có thể giải bằng phương pháp thế hoặc đặt ẩn phụ. Việc đặt ẩn phụ giúp đơn giản hóa phương trình. * **Lời giải:** * **Cách 1 (Phương pháp thế):** * Từ phương trình \(x + y = 1\), ta có \(y = 1 - x\). * Thay vào phương trình thứ hai: \(4^{-2x} + 4^{-2(1-x)} = 0.5\) * Biến đổi: \({(4^{2x})}^2 - 8.4^{2x} + 16 = 0\) * Đặt \(t = 4^{2x}\) (với \(t > 0\)). Phương trình trở thành: \(t^2 - 8t + 16 = 0\) * Giải phương trình, ta được \(t = 4\). * Suy ra \(4^{2x} = 4 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2}\). * Do đó, \(y = 1 - x = \frac{1}{2}\). * Vậy, tập nghiệm của hệ phương trình là: \(S = \{(\frac{1}{2}; \frac{1}{2})\}\). * **Cách 2 (Đặt ẩn phụ):** * Đặt \(u = 4^{-2x}\) và \(v = 4^{-2y}\). * Khi đó, \(u + v = 0.5\) và \(x + y = 1 \Rightarrow 4^{x+y} = 4 \Rightarrow 4^x \cdot 4^y = 4\). * Suy ra \(\frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{\sqrt{v}} = 4 \Rightarrow uv = \frac{1}{16}\). * Giải hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u + v = 0,5} \\ {uv = \frac{1}{16}} \end{array}} \right.\), ta được \(u = v = \frac{1}{4}\). * Suy ra \(4^{-2x} = \frac{1}{4} \Rightarrow -2x = -1 \Rightarrow x = \frac{1}{2}\). * Tương tự, \(y = \frac{1}{2}\). * Vậy, tập nghiệm của hệ phương trình là: \(S = \{(\frac{1}{2}; \frac{1}{2})\}\). **Bài 73.** Giải các hệ phương trình: (Tương tự như Bài 72, cần thực hiện các bước biến đổi và giải tương tự) **II. Giải Phương Trình - Phần Luyện Tập** **Bài 74.** Giải các phương trình: (Tương tự như Bài 72 và 73, cần thực hiện các bước biến đổi và giải tương tự) **Bài 75.** Giải các phương trình: (Tương tự như Bài 72 và 73, cần thực hiện các bước biến đổi và giải tương tự) **Bài 76.** Giải các phương trình: (Tương tự như Bài 72 và 73, cần thực hiện các bước biến đổi và giải tương tự) **Bài 77.** Giải các phương trình: (Tương tự như Bài 72 và 73, cần thực hiện các bước biến đổi và giải tương tự) **Bài 78.** Giải các phương trình: (Tương tự như Bài 72 và 73, cần thực hiện các bước biến đổi và giải tương tự) **Bài 79.** Giải các hệ phương trình: (Tương tự như Bài 72 và 73, cần thực hiện các bước biến đổi và giải tương tự) **Nhận xét chung:** * Các bài tập về hệ phương trình mũ và lôgarit đòi hỏi sự nắm vững các tính chất của lũy thừa, lôgarit và các phương pháp giải hệ phương trình. * Việc đặt ẩn phụ thường giúp đơn giản hóa bài toán và dễ dàng tìm ra nghiệm. * Cần chú ý đến điều kiện xác định của phương trình và nghiệm để đảm bảo tính chính xác của kết quả. * Việc kiểm tra lại nghiệm sau khi giải là rất quan trọng để tránh sai sót.