giải bài tập sgk giải tích 12 nâng cao: một số phương pháp tính tích phân

Hướng dẫn giải chi tiết các bài tập tích phân trong sách Giải tích 12 nâng cao

Bài viết này cung cấp lời giải chi tiết cho các bài tập về phương pháp tính tích phân trong sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao, bao gồm các bài tập trong phần "Câu hỏi và bài tập" và "Luyện tập". Chúng ta sẽ đi qua từng bài tập, phân tích phương pháp giải và đưa ra kết quả cuối cùng.

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Bài 17. Dùng phương pháp đổi biến số tính các tích phân sau:

• a) \(\int_0^1 {\sqrt {x + 1} dx} .\)
• b) \(\int_0^{\pi /4} {\frac{{\tan x}}{{{{\cos }^2}x}}dx} .\)
• c) \(\int_0^1 {{t^3}} {\left( {1 + {t^4}} \right)^3}dt.\)
• d) \(\int_0^1 {\frac{{5x}}{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}}dx.} \)
• e) \(\int_0^{\sqrt 3 } {\frac{{4x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}dx} .\)
• f) \(\int_0^{\pi /6} {(1 – \cos 3x)} \sin 3xdx.\)

Lời giải:

• a) Đặt \(u = \sqrt {x + 1} \) \( \Rightarrow {u^2} = x + 1\) \( \Rightarrow 2udu = dx.\) Khi \(x = 0\) thì \(u = 1\), khi \(x = 1\) thì \(u = \sqrt 2 .\)
  Vậy \(\int_0^1 {\sqrt {x + 1} dx} \) \( = \int_1^{\sqrt 2 } u .2udu\) \( = \left. {2.\frac{{{u^3}}}{3}} \right|_1^{\sqrt 2 }\) \( = \frac{{4\sqrt 2 }}{3} – \frac{2}{3}.\)
• b) Đặt \(u = \tan x\) \( \Rightarrow du = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx.\) Khi \(x = 0\) thì \(u = 0\), khi \(x = \frac{\pi }{4}\) thì \(u = 1.\)
  Vậy \(\int_0^{\pi /4} {\frac{{\tan x}}{{{{\cos }^2}x}}dx} \) \( = \int_0^1 u .du\) \( = \left. {\frac{{{u^2}}}{2}} \right|_0^1 = \frac{1}{2}.\)
• c) Đặt \(u = 1 + {t^4}\) \( \Rightarrow du = 4{t^3}dt\) \( \Rightarrow {t^3}dt = \frac{{du}}{4}.\) Khi \(t = 0\) thì \(u = 1\), khi \(t = 1\) thì \(u = 2.\)
  Vậy \(\int_0^1 {{t^3}} {\left( {1 + {t^4}} \right)^3}dt\) \( = \int_1^2 {{u^3}} \frac{{du}}{4}\) \( = \left. {\left( {\frac{1}{4}.\frac{{{u^4}}}{4}} \right)} \right|_1^2\) \( = \frac{1}{{16}}(16 – 1) = \frac{{15}}{{16}}.\)
• d) Đặt \(u = {x^2} + 4\) \( \Rightarrow xdx = \frac{{du}}{2}\). Khi \(x = 0\) thì \(u = 4\), khi \(x = 1\) thì \(u = 5.\)
  Vậy \(\int_0^1 {\frac{{5x}}{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}}dx} \) \( = \frac{5}{2}\int_4^5 {\frac{{du}}{{{u^2}}}} \) \( = \frac{5}{2}\int_4^5 {{u^{ – 2}}} du\) \( = \left. {\frac{5}{2}.\frac{{{u^{ – 1}}}}{{ – 1}}} \right|_4^5.\)
  \( = \left. {\frac{{ – 5}}{2}.\frac{1}{u}} \right|_4^5\) \( = \frac{5}{2}\left( {\frac{1}{4} – \frac{1}{5}} \right) = \frac{1}{8}.\)
• e) Đặt \(u = \sqrt {{x^2} + 1} \) \( \Leftrightarrow {u^2} = {x^2} + 1\) \( \Leftrightarrow udu = xdx.\) Khi \(x = 0\) thì \(u = 1\), khi \(x = \sqrt 3 \) thì \(u = 2.\)
  Vậy \(\int_0^{\sqrt 3 } {\frac{{4x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}dx} \) \( = 4\int_1^2 {\frac{{udu}}{u}} = 4\int_1^2 d u\) \( = \left. {4u} \right|_1^2 = 4.\)
• f) Đặt \(u = 1 – \cos 3x\) \( \Rightarrow \frac{1}{3}du = \sin 3xdx.\) Khi \(x = 0\) thì \(u = 0\), khi \(x = \frac{\pi }{6}\) thì \(u = 1.\)
  Vậy \(\int_0^{\pi /6} {(1 – \cos 3x)} \sin 3xdx\) \( = \frac{1}{3}\int_0^1 {udu} \) \( = \left. {\frac{1}{3}\frac{{{u^2}}}{2}} \right|_0^1 = \frac{1}{6}.\)

Bài 18. Dùng phương pháp tích phân từng phần để tính các tích phân sau:

• a) \(\int_1^2 {{x^5}} \ln xdx.\)
• b) \(\int_0^1 {(x + 1){e^x}dx} .\)
• c) \(\int_0^\pi {{e^x}} \cos xdx.\)
• d) \(\int_0^{\pi /2} {x\cos xdx} .\)

Lời giải:

• a) Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {u = \ln x}\\
  {dv = {x^5}dx}
  \end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {du = \frac{1}{x}dx}\\
  {v = \frac{{{x^6}}}{6}}
  \end{array}} \right..\)
  Suy ra \(\int_1^2 {{x^5}} \ln xdx\) \( = \left. {\frac{{{x^6}.\ln x}}{6}} \right|_1^2 – \int_1^2 {\frac{{{x^6}}}{6}} .\frac{1}{x}dx\) \( = \frac{{32}}{3}\ln 2 – \int_1^2 {\frac{{{x^5}}}{6}dx} .\)
  \( = \frac{{32}}{3}\ln 2 – \left. {\left( {\frac{{{x^6}}}{{36}}} \right)} \right|_1^2\) \( = \frac{{32}}{3}\ln 2 – \frac{7}{4}.\)
• b) Đặt \(u = x + 1\), \(dv = {e^x}dx\) \( \Rightarrow du = dx\), \(v = {e^x}.\)
  Suy ra \(\int_0^1 {(x + 1){e^x}dx} \) \( = \left. {{e^x}(x + 1)} \right|_0^1\) \( – \int_0^1 {{e^x}} dx\) \( = 2e – 1 – \left. {{e^x}} \right|_0^1\) \( = 2e – 1 – (e – 1) = e.\)
• c) Đặt \(u = \cos x\), \(dv = {e^x}dx\) \( \Rightarrow du = – \sin xdx\), \(v = {e^x}.\)
  Suy ra \(\int_0^\pi {{e^x}} \cos xdx\) \( = \left. {{e^x}\cos x} \right|_0^\pi + \int_0^\pi {{e^x}} \sin xdx\) \( = – {e^\pi } – 1 + {I_1}.\)
  Tính \({I_1} = \int_0^\pi {{e^x}} \sin xdx.\)
  Đặt \({u_1} = \sin x\), \(d{v_1} = {e^x}dx\) \( \Rightarrow d{u_1} = \cos xdx\), \({v_1} = {e^x}.\)
  Suy ra \({I_1} = \left. {{e^x}.\sin x} \right|_0^\pi – \int_0^\pi {{e^x}} \cos xdx\) \( = – I.\)
  Vậy \(I = – \left( {{e^\pi } + 1} \right) – I\) \( \Leftrightarrow 2I = – \left( {{e^\pi } + 1} \right).\)
  Vậy \(\int_0^\pi {{e^x}} \cos xdx = – \frac{{{e^\pi } + 1}}{2}.\)
• d) Đặt \(u = x\), \(dv = \cos xdx\) \( \Rightarrow du = dx\), \(v = \sin x.\)
  Suy ra: \(\int_0^{\pi /2} x \cos xdx\) \( = \left. {x.\sin x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} – \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx} \) \( = \frac{\pi }{2} + \left. {(\cos x)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}\) \( = \frac{\pi }{2} – 1.\)

Nhận xét:

Các bài tập trên tập trung vào hai phương pháp tính tích phân quan trọng: đổi biến số và tích phân từng phần. Việc nắm vững các phương pháp này là nền tảng để giải quyết các bài toán tích phân phức tạp hơn. Trong quá trình giải, cần chú ý lựa chọn biến số phù hợp và áp dụng đúng công thức tích phân từng phần để đạt được kết quả chính xác.