giải bài tập sgk giải tích 12 nâng cao: ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng

## Hướng dẫn giải chi tiết các bài tập về ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng - Giải tích 12 nâng cao Bài viết này sẽ trình bày chi tiết lời giải các bài tập trong phần "Câu hỏi và bài tập" và "Bài tập luyện tập" của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao, tập trung vào ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng. Chúng ta sẽ cùng phân tích từng bài, làm rõ phương pháp và các lưu ý quan trọng. **Bài 26:** Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sin x + 1\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0\) và \(x = \frac{{7\pi }}{6}\). **Lời giải:** Nhận thấy rằng \(\sin x + 1 \ge 0\) với mọi \(x \in \left[ {0;\frac{{7\pi }}{6}} \right]\), diện tích \(S\) cần tìm được tính bằng: \(S = \int_0^{\frac{{7\pi }}{6}} (\sin x + 1) dx = \left. {( – \cos x + x)} \right|_0^{\frac{{7\pi }}{6}} = \left( { – \cos \frac{{7\pi }}{6} + \frac{{7\pi }}{6}} \right) – ( – \cos 0 + 0) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{{7\pi }}{6} + 1.\) **Nhận xét:** Bài toán này tương đối đơn giản, chủ yếu kiểm tra khả năng tính tích phân cơ bản và xác định dấu của hàm số để bỏ dấu giá trị tuyệt đối khi tính diện tích. **Bài 27:** Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: a) Đồ thị hàm số \(y = {\cos ^2}x\), trục hoành, trục tung và đường thẳng \(x = \pi\). b) Đồ thị hai hàm số \(y = \sqrt x \) và \(y = \sqrt[3]{x}\). c) Đồ thị hai hàm số \(y = 2{x^2}\) và \(y = {x^4} – 2{x^2}\) trong miền \(x > 0\). **Lời giải:** a) Diện tích \(S\) cần tìm: \(S = \int_0^\pi {{{\cos }^2} x dx} = \int_0^\pi {\frac{{1 + \cos 2x}}{2} dx} = \left. {\frac{1}{2}x + \frac{{\sin 2x}}{4}} \right|_0^\pi = \frac{\pi }{2}.\) b) Tìm hoành độ giao điểm của hai đồ thị: \(\sqrt x = \sqrt[3]{x} \Leftrightarrow x^3 = x^2 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} x = 0 \\ x = 1 \end{array}} \right.\) Diện tích cần tìm: \(S = \int_0^1 |\sqrt x – \sqrt[3]{x}| dx = \int_0^1 (\sqrt[3]{x} – \sqrt x ) dx = \int_0^1 ({x^{\frac{1}{3}}} – {x^{\frac{1}{2}}}) dx = \left. {\left( {\frac{{{x^{\frac{4}{3}}}}}{\frac{4}{3}} – \frac{{{x^{\frac{3}{2}}}}}{\frac{3}{2}}} \right)} \right|_0^1 = \frac{3}{4} – \frac{2}{3} = \frac{1}{{12}}.\) c) Tìm hoành độ giao điểm: \(2{x^2} = {x^4} – 2{x^2} \Leftrightarrow {x^4} – 4{x^2} = 0 \Leftrightarrow {x^2}({x^2} – 4) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} x = 0 \\ x = 2 \end{array}} \right.\) Diện tích cần tìm: \(S = \int_0^2 |{x^4} – 4{x^2}| dx = \int_0^2 {x^2}|{x^2} – 4| dx = \int_0^2 {x^2}(4 – {x^2}) dx = \int_0^2 (4{x^2} – {x^4}) dx = \left. {\left( {\frac{4{x^3}}{3} – \frac{{{x^5}}}{5}} \right)} \right|_0^2 = \frac{{32}}{3} – \frac{{32}}{5} = \frac{{64}}{{15}}.\) **Nhận xét:** Bài 27 đòi hỏi kỹ năng giải phương trình, xét dấu và tính tích phân phức tạp hơn. Đặc biệt, ở câu b và c, cần xác định khoảng tích phân và dấu của hàm số để đảm bảo tính đúng của kết quả. **Bài 28:** Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi: a) Đồ thị các hàm số \(y = {x^2} – 4\), \(y = – {x^2} – 2x\) và hai đường thẳng \(x = – 3\), \(x = – 2\). b) Đồ thị hai hàm số \(y = {x^2} – 4\) và \(y = – {x^2} – 2x\). c) Đồ thị hàm số \(y = {x^3} – 4x\), trục hoành, đường thẳng \(x = -2\) và đường thẳng \(x = 4\). **Lời giải:** (Chi tiết được trình bày trong nội dung gốc) **Nhận xét chung:** Các bài tập về ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng đòi hỏi người học phải nắm vững kiến thức về: * Tích phân xác định và các phương pháp tính tích phân. * Tìm giao điểm của các đồ thị hàm số. * Xác định khoảng tích phân và dấu của hàm số. * Sử dụng hình vẽ để minh họa và kiểm tra kết quả. Việc rèn luyện thường xuyên và kết hợp với việc vẽ hình sẽ giúp học sinh nắm vững phương pháp và giải quyết các bài toán một cách hiệu quả.