giải bài tập sgk giải tích 12 nâng cao: ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể

## Giải Chi Tiết Các Bài Tập Ứng Dụng Tích Phân Tính Thể Tích Vật Thể - Giải Tích 12 Nâng Cao Bài viết này cung cấp lời giải chi tiết và phân tích chuyên sâu cho các bài tập về ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể trong sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao, bao gồm phần Câu hỏi và Bài tập, và phần Luyện tập. **I. Câu Hỏi và Bài Tập** **Bài 29:** Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng \(x = -1\) và \(x = 1\), biết rằng thiết diện vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(x\) \(( – 1 \le x \le 1)\) là một hình vuông cạnh là \(2\sqrt {1 – {x^2}} .\) * **Lời giải:** Diện tích thiết diện \(S(x) = {(2\sqrt {1 – x^2} )^2} = 4(1-x^2)\). Thể tích vật thể \(V = \int_{ – 1}^1 4(1 – x^2) dx = \left. {4(x – \frac{x^3}{3})} \right|_{ – 1}^1 = 4(1 - \frac{1}{3} - (-1 + \frac{1}{3})) = 4(\frac{2}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{16}{3}\). * **Nhận xét:** Bài toán này minh họa cách sử dụng tích phân để tính thể tích khi biết diện tích thiết diện vuông góc với một trục. Việc xác định chính xác diện tích thiết diện là bước quan trọng nhất. **Bài 30:** Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng \(x = 0\) và \(x = \pi \), biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(0 \le x \le \pi \) là một tam giác đều cạnh là \(2\sqrt {\sin x} .\) * **Lời giải:** Diện tích thiết diện \(S(x) = \frac{\sqrt{3}}{4} (2\sqrt{\sin x})^2 = \sqrt{3} \sin x\). Thể tích vật thể \(V = \int_0^\pi {\sqrt 3 } \sin xdx = -\left. {\sqrt 3 \cos x} \right|_0^\pi = -\sqrt{3}(\cos \pi - \cos 0) = -\sqrt{3}(-1-1) = 2\sqrt{3}\). * **Nhận xét:** Bài toán này tương tự bài 29, nhưng thiết diện là một tam giác đều. Cần nhớ công thức tính diện tích tam giác đều. **Bài 31:** Cho hình phẳng \(A\) giới hạn bởi các đường \(y = 0\), \(x = 4\) và \(y = \sqrt x – 1.\) Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình \(A\) quanh trục hoành. * **Lời giải:** Giao điểm của \(y = \sqrt{x} - 1\) và \(y = 0\) là \(x = 1\). Thể tích \(V = \pi \int_1^4 (\sqrt{x} - 1)^2 dx = \pi \int_1^4 (x - 2\sqrt{x} + 1) dx = \pi \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{4}{3}x^{3/2} + x \right]_1^4 = \pi \left[ (8 - \frac{32}{3} + 4) - (\frac{1}{2} - \frac{4}{3} + 1) \right] = \pi \left[ 12 - \frac{32}{3} - \frac{1}{2} + \frac{4}{3} - 1 \right] = \pi \left[ 11 - \frac{28}{3} - \frac{1}{2} \right] = \pi \left[ \frac{66 - 56 - 3}{6} \right] = \frac{7\pi}{6}\). * **Nhận xét:** Bài toán này sử dụng phương pháp đĩa để tính thể tích khối tròn xoay. Việc xác định giới hạn tích phân và biểu thức dưới dấu tích phân là quan trọng. **Bài 32:** Cho hình phẳng \(B\) giới hạn bởi các đường \(x = \frac{2}{y}\), \(y = 1\) và \(y = 4.\) Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình \(B\) quanh trục tung. * **Lời giải:** Thể tích \(V = \pi \int_1^4 (\frac{2}{y})^2 dy = \pi \int_1^4 \frac{4}{y^2} dy = 4\pi \left[ -\frac{1}{y} \right]_1^4 = 4\pi (-\frac{1}{4} + 1) = 4\pi (\frac{3}{4}) = 3\pi\). * **Nhận xét:** Bài toán này sử dụng phương pháp đĩa, nhưng tích phân theo biến \(y\) vì quay quanh trục tung. **Bài 33:** Cho hình phẳng \(B\) giới hạn bởi các đường \(x = \sqrt 5 {y^2}\), \(x = 0\), \(y = – 1\) và \(y = 1.\) Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình \(B\) quanh trục tung. * **Lời giải:** Thể tích \(V = \pi \int_{-1}^1 (\sqrt{5}y^2)^2 dy = \pi \int_{-1}^1 5y^4 dy = 5\pi \left[ \frac{y^5}{5} \right]_{-1}^1 = 5\pi (\frac{1}{5} - (-\frac{1}{5})) = 5\pi (\frac{2}{5}) = 2\pi\). * **Nhận xét:** Bài toán này tương tự bài 32, nhưng hàm số khác. **II. Luyện Tập** **Bài 34:** Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: a) Đồ thị các hàm số \(y = x\), \(y = 1\) và \(y = \frac{{{x^2}}}{4}\) trong miền \(x \ge 0\), \(y \le 1\). b) Đồ thị hai hàm số \(y = {x^4} – 4{x^2} + 4\), \(y = {x^2}\), trục tung và đường thẳng \(x = 1\). c) Đồ thị các hàm số \(y = {x^2}\), \(y = 4x – 4\) và \(y = – 4x – 4\). (Lời giải đã được cung cấp trong đề bài, phân tích tương tự như các bài trên) **Bài 35:** Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: a) Đồ thị hai hàm số \(y = {x^2} + 1\) và \(y = 3 – x\). b) Các đường có phương trình \(x = {y^3}\), \(y = 1\) và \(x = 8\). c) Đồ thị hai hàm số \(y = \sqrt x \), \(y = 6 – x\) và trục hoành. (Lời giải đã được cung cấp trong đề bài, phân tích tương tự như các bài trên) **Bài 36:** Tính thể tích của vật thể \(T\) nằm giữa hai mặt phẳng \(x = 0\) và \(x = \pi \), biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(x\) \((0 \le x \le \pi )\) là một hình vuông cạnh là \(2\sqrt {\sin x} .\) * **Lời giải:** Diện tích thiết diện \(S(x) = (2\sqrt{\sin x})^2 = 4\sin x\). Thể tích \(V = \int_0^\pi 4\sin x dx = -4\cos x \Big|_0^\pi = -4(\cos \pi - \cos 0) = -4(-1-1) = 8\). * **Nhận xét:** Tương tự bài 30, cần xác định đúng diện tích thiết diện. **Bài 37:** Cho hình phẳng \(A\) giới hạn bởi các đường \(y = {x^2}\), \(y = 0\), \(x = 0\) và \(x = 2.\) Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình \(A\) quanh trục hoành. * **Lời giải:** Thể tích \(V = \pi \int_0^2 (x^2)^2 dx = \pi \int_0^2 x^4 dx = \pi \left[ \frac{x^5}{5} \right]_0^2 = \frac{32\pi}{5}\). * **Nhận xét:** Sử dụng phương pháp đĩa, tích phân theo \(x\). **Bài 38:** Cho hình phẳng \(A\) giới hạn bởi các đường \(y = \cos x\), \(y = 0\), \(x = 0\) và \(x = \frac{\pi }{4}.\) Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình \(A\) quanh trục hoành. * **Lời giải:** Thể tích \(V = \pi \int_0^{\pi/4} (\cos x)^2 dx = \pi \int_0^{\pi/4} \frac{1 + \cos 2x}{2} dx = \frac{\pi}{2} \left[ x + \frac{\sin 2x}{2} \right]_0^{\pi/4} = \frac{\pi}{2} \left( \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \right) = \frac{\pi^2}{8} + \frac{\pi}{4}\). * **Nhận xét:** Sử dụng công thức hạ bậc lượng giác để đơn giản hóa tích phân. **Bài 39 & 40:** (Lời giải đã được cung cấp trong đề bài, phân tích tương tự như các bài trên) **Kết luận:** Các bài tập này cung cấp một cái nhìn tổng quan về việc ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể. Việc nắm vững các phương pháp tích phân (phương pháp đĩa, phương pháp vỏ) và khả năng xác định chính xác diện tích thiết diện hoặc giới hạn tích phân là chìa khóa để giải quyết các bài toán này.