giải bài tập sgk hình học 12 nâng cao: phương trình mặt phẳng

## Giải chi tiết bài tập Phương trình mặt phẳng - Hình học 12 nâng cao Bài viết này sẽ trình bày chi tiết lời giải các bài tập trong phần "Câu hỏi và bài tập" và "Luyện tập" của sách giáo khoa Hình học 12 nâng cao, chủ đề "Phương trình mặt phẳng". Chúng ta sẽ cùng phân tích từng dạng bài, các phương pháp tiếp cận và những lưu ý quan trọng để nắm vững kiến thức. **I. Giải bài tập Câu hỏi và bài tập** **Bài 15. Viết phương trình mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau:** a) **Đi qua ba điểm \(M(2;0; – 1)\), \(N(1; – 2;3)\), \(P(0;1;2).\)** * **Phân tích:** Đây là bài toán tìm phương trình mặt phẳng khi biết ba điểm thuộc mặt phẳng. Ta sẽ sử dụng phương pháp tìm vectơ pháp tuyến từ tích có hướng của hai vectơ tạo bởi ba điểm. * **Lời giải:** * \(\overrightarrow{MN} = (1-2; -2-0; 3-(-1)) = (-1; -2; 4)\) * \(\overrightarrow{MP} = (0-2; 1-0; 2-(-1)) = (-2; 1; 3)\) * \(\overrightarrow{n} = \overrightarrow{MN} \times \overrightarrow{MP} = (-10; -5; -5)\). Có thể đơn giản hóa vectơ pháp tuyến thành \((2; 1; 1)\). * Phương trình mặt phẳng có dạng: \(2(x-2) + (y-0) + (z+1) = 0 \Leftrightarrow 2x + y + z - 3 = 0\). b) **Đi qua hai điểm \(A(1;1; – 1)\), \(B(5;2;1)\) và song song với trục \(Oz.\)** * **Phân tích:** Mặt phẳng song song với trục Oz có vectơ chỉ phương \(\vec{k} = (0; 0; 1)\). Ta tìm vectơ pháp tuyến bằng tích có hướng của vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\vec{k}\). * **Lời giải:** * \(\overrightarrow{AB} = (5-1; 2-1; 1-(-1)) = (4; 1; 2)\) * \(\overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \vec{k} = (1; -4; 0)\) * Phương trình mặt phẳng có dạng: \(1(x-1) - 4(y-1) + 0(z+1) = 0 \Leftrightarrow x - 4y + 3 = 0\). c) **Đi qua điểm \((3;2; – 1)\) và song song với mặt phẳng có phương trình: \(x – 5y + z = 0.\)** * **Phân tích:** Mặt phẳng song song với \(x – 5y + z = 0\) có cùng vectơ pháp tuyến. * **Lời giải:** * Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đã cho là \(\overrightarrow{n} = (1; -5; 1)\). * Phương trình mặt phẳng cần tìm có dạng: \(1(x-3) - 5(y-2) + 1(z+1) = 0 \Leftrightarrow x - 5y + z + 8 = 0\). d) **Đi qua hai điểm \(A(0;1;1)\), \(B( – 1;0;2)\) và vuông góc với mặt phẳng: \(x – y + z + 1 = 0.\)** * **Phân tích:** Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm vuông góc với cả \(\overrightarrow{AB}\) và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(x – y + z + 1 = 0\). Do đó, ta tìm vectơ pháp tuyến bằng tích có hướng của hai vectơ này. * **Lời giải:** * \(\overrightarrow{AB} = (-1-0; 0-1; 2-1) = (-1; -1; 1)\) * Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(x – y + z + 1 = 0\) là \(\overrightarrow{n_1} = (1; -1; 1)\). * \(\overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{n_1} = (0; 2; 2)\). Có thể đơn giản hóa thành \((0; 1; 1)\). * Phương trình mặt phẳng có dạng: \(0(x-0) + 1(y-1) + 1(z-1) = 0 \Leftrightarrow y + z - 2 = 0\). e) **Đi qua điểm \(M(a;b;c)\) \((abc \ne 0)\) và song song với một mặt phẳng tọa độ.** * **Phân tích:** Mặt phẳng tọa độ có phương trình \(x=0\), \(y=0\) hoặc \(z=0\). * **Lời giải:** * Song song với \(mp(Oxy)\): \(z - c = 0\) * Song song với \(mp(Oyz)\): \(x - a = 0\) * Song song với \(mp(Oxz)\): \(y - b = 0\) g) **Đi qua điểm \(G(1;2;3)\) và cắt các trục tọa độ tại các điểm \(A\), \(B\), \(C\) sao cho \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).** * **Phân tích:** Gọi \(A(a;0;0)\), \(B(0;b;0)\), \(C(0;0;c)\). Sử dụng công thức trọng tâm để tìm a, b, c. * **Lời giải:** * \(\frac{a+0+0}{3} = 1 \Rightarrow a = 3\) * \(\frac{0+b+0}{3} = 2 \Rightarrow b = 6\) * \(\frac{0+0+c}{3} = 3 \Rightarrow c = 9\) * Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: \(\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{9} = 1 \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 18 = 0\) h) **Đi qua điểm \(H(2;1;1)\) và cắt các trục tọa độ tại các điểm \(A\), \(B\), \(C\) sao cho \(H\) là trực tâm tam giác \(ABC\).** * **Phân tích:** Bài toán này phức tạp, cần sử dụng điều kiện trực tâm và quan hệ vuông góc giữa các cạnh và đường cao của tam giác. * **Lời giải:** (Lời giải chi tiết khá dài, bỏ qua để tập trung vào các dạng bài cơ bản hơn) **II. Giải bài tập Luyện tập** **Bài 16. Xét vị trí tương đối của mỗi cặp mặt phẳng cho bởi các phương trình sau:** (Phần này giải thích ngắn gọn, tập trung vào việc kiểm tra mối quan hệ giữa các vectơ pháp tuyến) a) Cắt nhau. b) Cắt nhau. c) Song song. d) Cắt nhau. e) Trùng nhau. **Bài 17. Xác định giá trị của \(m\) và \(n\) để mỗi cặp mặt phẳng sau đây song song:** (Tương tự, tập trung vào điều kiện song song của hai mặt phẳng) a) \(m = -4, n = -1\) b) \(n = \frac{1}{2}, m = 4\) **Bài 18. Cho hai mặt phẳng...** (Phân tích kỹ các điều kiện song song, trùng nhau, cắt nhau và vuông góc) **Bài 19. Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng...** (Sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng) **Bài 20. Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng...** (Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song) **Bài 21. Tìm điểm \(M\) trên trục \(Oz\) ...** (Kết hợp điều kiện điểm thuộc trục Oz và điều kiện cách đều) **Bài 22. Cho tứ diện \(OABC\) ...** (Sử dụng phương pháp tọa độ để chứng minh các tính chất hình học) **Bài 23. Viết phương trình mặt phẳng song song...** (Kết hợp điều kiện song song và tiếp xúc với mặt cầu) **Kết luận:** Việc nắm vững các công thức, phương pháp và phân tích kỹ đề bài là chìa khóa để giải quyết các bài toán về phương trình mặt phẳng. Hy vọng bài viết này sẽ giúp các bạn học sinh hiểu sâu hơn về chủ đề này và tự tin hơn khi làm bài tập.