giải bài tập sgk giải tích 12 cơ bản: ôn tập chương 3

## Ôn Tập Chương 3 - Giải Tích 12 Cơ Bản: Hướng Dẫn Giải Chi Tiết và Phân Tích Bài viết này cung cấp hướng dẫn giải chi tiết các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập, cũng như phần luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 cơ bản, tập trung vào chương 3. Chúng ta sẽ đi sâu vào các khái niệm về nguyên hàm, tích phân, và ứng dụng của chúng trong tính toán diện tích và thể tích. **I. Câu Hỏi và Bài Tập** **Bài 1:** a) **Phát biểu định nghĩa nguyên hàm của hàm số trên một khoảng.** **Lời giải:** Cho hàm số \(f(x)\) xác định trên khoảng \(K\). Hàm số \(F(x)\) được gọi là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên \(K\) nếu \(F'(x) = f(x)\) với mọi \(x \in K\). **Nhận xét:** Định nghĩa này là nền tảng cho việc tìm nguyên hàm và tính tích phân. Việc hiểu rõ mối liên hệ giữa đạo hàm và nguyên hàm là rất quan trọng. b) **Nêu phương pháp tính nguyên hàm từng phần. Cho ví dụ minh họa.** **Lời giải:** Phương pháp tính nguyên hàm từng phần dựa trên công thức: \(\int u \, dv = uv - \int v \, du\). * **Các bước thực hiện:** 1. Chọn \(u\) và \(dv\) từ biểu thức tích phân ban đầu. 2. Tính \(du\) và \(v\) (nguyên hàm của \(dv\)). 3. Áp dụng công thức tích phân từng phần. * **Ví dụ minh họa:** Tính \(\int x \sin x \, dx\). Đặt \(\left\{ \begin{array}{l} u = x \\ dv = \sin x \, dx \end{array} \right.\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l} du = dx \\ v = -\cos x \end{array} \right.\). Áp dụng công thức: \(\int x \sin x \, dx = -x\cos x - \int (-\cos x) \, dx = -x\cos x + \int \cos x \, dx = -x\cos x + \sin x + C\). **Nhận xét:** Việc lựa chọn \(u\) và \(dv\) hợp lý là yếu tố then chốt để áp dụng thành công phương pháp tích phân từng phần. Thông thường, ta chọn \(u\) là hàm có đạo hàm đơn giản hơn và \(dv\) là hàm dễ tìm nguyên hàm. **Bài 2:** a) **Phát biểu định nghĩa tích phân của hàm số trên một đoạn.** **Lời giải:** Cho \(f(x)\) là hàm số liên tục trên đoạn \([a; b]\). Giả sử \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên đoạn \([a; b]\). Hiệu số \(F(b) - F(a)\) được gọi là tích phân từ \(a\) đến \(b\) của hàm số \(f(x)\), ký hiệu là \(\int_a^b f(x) \, dx\). Ta có \(\int_a^b f(x) \, dx = \left. F(x) \right|_a^b = F(b) - F(a)\). **Nhận xét:** Định nghĩa này liên kết tích phân với nguyên hàm, cho phép ta tính tích phân bằng cách tìm nguyên hàm và tính hiệu giá trị của nó tại các cận tích phân. b) **Nêu các tính chất của tích phân. Cho ví dụ minh họa.** **Lời giải:** Cho \(f(x)\) và \(g(x)\) là các hàm số liên tục trên đoạn \([a; b]\). Ta có: 1. \(\int_a^b kf(x) \, dx = k \int_a^b f(x) \, dx\) (với \(k\) là hằng số). 2. \(\int_a^b [f(x) \pm g(x)] \, dx = \int_a^b f(x) \, dx \pm \int_a^b g(x) \, dx\). 3. \(\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx + \int_c^b f(x) \, dx\) (với \(a < c < b\)). * **Ví dụ minh họa:** Tính \(I = \int_0^{2\pi} |\sin x| \, dx\). Ta có: \(|\sin x| = \begin{cases} \sin x & \text{nếu } 0 \le x \le \pi \\ -\sin x & \text{nếu } \pi \le x \le 2\pi \end{cases}\). Do đó: \(I = \int_0^\pi \sin x \, dx - \int_\pi^{2\pi} \sin x \, dx = \left. (-\cos x) \right|_0^\pi + \left. \cos x \right|_\pi^{2\pi} = -(\cos \pi - \cos 0) + (\cos 2\pi - \cos \pi) = -(-1 - 1) + (1 - (-1)) = 2 + 2 = 4\). **Nhận xét:** Các tính chất này giúp đơn giản hóa việc tính tích phân phức tạp bằng cách chia nhỏ tích phân, đưa ra thừa số chung, hoặc sử dụng tính chất cộng. **Bài 3, 4, 5, 6:** (Các bài tập tính nguyên hàm và tích phân cụ thể, lời giải đã được cung cấp đầy đủ trong nội dung gốc. Việc phân tích sâu hơn sẽ tập trung vào kỹ thuật giải quyết từng dạng bài.) **II. Bài Tập Trắc Nghiệm** (Đáp án đã được cung cấp trong nội dung gốc.) **Tổng kết:** Chương 3 Giải tích 12 cơ bản tập trung vào hai khái niệm then chốt: nguyên hàm và tích phân. Việc nắm vững định nghĩa, tính chất và các phương pháp tính toán (tích phân từng phần, đổi biến số) là rất quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến diện tích, thể tích và các ứng dụng khác của tích phân trong các lĩnh vực khoa học và kỹ thuật. Việc luyện tập thường xuyên với các bài tập đa dạng sẽ giúp củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán.