giải bài tập sgk giải tích 12 cơ bản: phép chia số phức

Hướng dẫn giải bài tập Phép chia số phức – Giải tích 12 cơ bản

Bài viết này cung cấp lời giải chi tiết cho các bài tập về phép chia số phức trong sách giáo khoa Giải tích 12 cơ bản, bao gồm các dạng bài tập như thực hiện phép chia, tìm nghịch đảo của số phức, thực hiện các phép tính phức tạp và giải phương trình với số phức. Mục tiêu là giúp học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải quyết các bài toán liên quan đến phép chia số phức.

I. Câu hỏi và bài tập

Bài 1: Thực hiện các phép chia sau:

1. a) \(\frac{{2 + i}}{{3 – 2i}}\).

   Lời giải: Để thực hiện phép chia này, ta nhân cả tử và mẫu với số phức liên hợp của mẫu số. Cụ thể:

   \(\frac{{2 + i}}{{3 – 2i}} = \frac{{(2 + i)(3 + 2i)}}{{(3 – 2i)(3 + 2i)}} = \frac{{6 + 4i + 3i + 2i^2}}{{{3^2} - (2i)^2}} = \frac{{6 + 7i - 2}}{9 + 4} = \frac{4 + 7i}{13} = \frac{4}{13} + \frac{7}{13}i\).

2. b) \(\frac{{1 + i\sqrt 2 }}{{2 + i\sqrt 3 }}\).

   Lời giải: Tương tự như trên, ta nhân cả tử và mẫu với số phức liên hợp của mẫu số:

   \(\frac{{1 + i\sqrt 2 }}{{2 + i\sqrt 3 }} = \frac{{(1 + i\sqrt 2 )(2 – i\sqrt 3 )}}{{(2 + i\sqrt 3 )(2 – i\sqrt 3 )}} = \frac{{2 – i\sqrt 3 + 2i\sqrt 2 – i^2\sqrt 6 }}{{4 - (i\sqrt 3)^2}} = \frac{{2 + \sqrt 6 + i(2\sqrt 2 – \sqrt 3 )}}{4 + 3} = \frac{{2 + \sqrt 6 }}{7} + \frac{{2\sqrt 2 – \sqrt 3 }}{7}i\).

3. c) \(\frac{{5i}}{{2 – 3i}}\).

   Lời giải:

   \(\frac{{5i}}{{2 – 3i}} = \frac{{5i(2 + 3i)}}{{(2 – 3i)(2 + 3i)}} = \frac{{10i + 15i^2}}{4 + 9} = \frac{{-15 + 10i}}{13} = - \frac{{15}}{13} + \frac{{10}}{13}i\).

4. d) \(\frac{{5 – 2i}}{i}\).

   Lời giải:

   \(\frac{{5 – 2i}}{i} = \frac{{(5 – 2i)(-i)}}{{i(-i)}} = \frac{{-5i + 2i^2}}{-i^2} = \frac{{-2 - 5i}}{1} = -2 - 5i\).

Bài 2: Tìm nghịch đảo \(\frac{1}{z}\) của các số phức:

1. a) \(1 + 2i\).

   Lời giải: Nghịch đảo của một số phức \(z = a + bi\) là \(\frac{1}{z} = \frac{a - bi}{a^2 + b^2}\). Do đó:

   \(\frac{1}{{1 + 2i}} = \frac{{1 – 2i}}{{{1^2} + {2^2}}} = \frac{{1 – 2i}}{5} = \frac{1}{5} – \frac{2}{5}i\).

2. b) \(\sqrt 2 – 3i\).

   Lời giải:

   \(\frac{1}{{\sqrt 2 – 3i}} = \frac{{\sqrt 2 + 3i}}{{{{(\sqrt 2 )}^2} + {{( – 3)}^2}}} = \frac{{\sqrt 2 + 3i}}{2 + 9} = \frac{{\sqrt 2 + 3i}}{11} = \frac{{\sqrt 2 }}{{11}} + \frac{3}{{11}}i\).

3. c) \(i\).

   Lời giải:

   \(\frac{1}{i} = \frac{{ - i}}{{{i}^2}} = \frac{{ - i}}{{-1}} = - i\).

4. d) \(5 + i\sqrt 3 \).

   Lời giải:

   \(\frac{1}{{5 + i\sqrt 3 }} = \frac{{5 – i\sqrt 3 }}{{{5^2} + {{(\sqrt 3 )}^2}}} = \frac{{5 – i\sqrt 3 }}{{25 + 3}} = \frac{{5 – i\sqrt 3 }}{{28}} = \frac{5}{{28}} – \frac{{\sqrt 3 }}{{28}}i\).

Bài 3: Thực hiện các phép tính sau:

1. a) \(2i(3 + i)(2 + 4i)\).

   Lời giải:

   \(2i(3 + i)(2 + 4i) = 2i(6 + 12i + 2i + 4i^2) = 2i(6 + 14i - 4) = 2i(2 + 14i) = 4i + 28i^2 = -28 + 4i\).

2. b) \(\frac{{{{(1 + i)}^2}{{(2i)}^3}}}{{ – 2 + i}}\).

   Lời giải:

   \(\frac{{{{(1 + i)}^2}{{(2i)}^3}}}{{ – 2 + i}} = \frac{{(1 + 2i + i^2)(8i^3)}}{{ – 2 + i}} = \frac{{(2i)(-8i)}}{{ – 2 + i}} = \frac{{-16i^2}}{{-2 + i}} = \frac{{16}}{{-2 + i}} = \frac{{16(-2 - i)}}{{(-2 + i)(-2 - i)}} = \frac{{-32 - 16i}}{5} = - \frac{{32}}{5} – \frac{{16}}{5}i\).

3. c) \(3 + 2i + (6 + i)(5 + i)\).

   Lời giải:

   \(3 + 2i + (6 + i)(5 + i) = 3 + 2i + (30 + 6i + 5i + i^2) = 3 + 2i + (30 + 11i - 1) = 3 + 2i + 29 + 11i = 32 + 13i\).

4. d) \(4 – 3i + \frac{{5 + 4i}}{{3 + 6i}}\).

   Lời giải:

   \(4 – 3i + \frac{{5 + 4i}}{{3 + 6i}} = 4 – 3i + \frac{{(5 + 4i)(3 – 6i)}}{{(3 + 6i)(3 – 6i)}} = 4 – 3i + \frac{{15 – 30i + 12i – 24i^2}}{9 + 36} = 4 – 3i + \frac{{15 - 18i + 24}}{45} = 4 – 3i + \frac{{39 – 18i}}{45} = 4 – 3i + \frac{{13}}{15} – \frac{2}{5}i = \frac{{60 + 13}}{15} + i\left( { - 3 - \frac{2}{5}} \right) = \frac{{73}}{15} – \frac{{17}}{5}i\).

Bài 4: Giải các phương trình sau:

1. a) \((3 – 2i)z + (4 + 5i) = 7 + 3i\).

   Lời giải:

   \((3 – 2i)z = 7 + 3i - (4 + 5i) = 3 - 2i \Rightarrow z = \frac{{3 - 2i}}{{3 - 2i}} = 1\).

2. b) \((1 + 3i)z – (2 + 5i) = (2 + i)z\).

   Lời giải:

   \((1 + 3i)z – (2 + i)z = 2 + 5i \Rightarrow (1 + 3i - 2 - i)z = 2 + 5i \Rightarrow (-1 + 2i)z = 2 + 5i \Rightarrow z = \frac{{2 + 5i}}{{-1 + 2i}} = \frac{{(2 + 5i)(-1 - 2i)}}{{(-1 + 2i)(-1 - 2i)}} = \frac{{-2 - 4i - 5i - 10i^2}}{1 + 4} = \frac{{8 - 9i}}{5} = \frac{8}{5} - \frac{9}{5}i\).

3. c) \(\frac{z}{{4 – 3i}} + (2 – 3i) = 5 – 2i\).

   Lời giải:

   \(\frac{z}{{4 – 3i}} = 5 – 2i - (2 – 3i) = 3 + i \Rightarrow z = (3 + i)(4 – 3i) = 12 – 9i + 4i – 3i^2 = 12 - 5i + 3 = 15 - 5i\).

Nhận xét: Các bài tập trên bao gồm các kỹ năng cơ bản về phép chia số phức, bao gồm nhân với số phức liên hợp, tìm nghịch đảo và giải phương trình. Việc nắm vững các kỹ năng này là rất quan trọng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong chương trình Giải tích.