giải bài tập sgk hình học 12 cơ bản: phương trình đường thẳng trong không gian

## Giải chi tiết bài tập Phương trình đường thẳng trong không gian - Sách giáo khoa Hình học 12 Bài viết này sẽ trình bày chi tiết lời giải các bài tập trong phần "Câu hỏi và bài tập" và "Luyện tập" của sách giáo khoa Hình học 12 cơ bản, tập trung vào chủ đề "Phương trình đường thẳng trong không gian". Chúng ta sẽ cùng phân tích từng bài, làm rõ phương pháp và các bước thực hiện để nắm vững kiến thức. **I. Câu hỏi và bài tập** **Bài 1.** Viết phương trình tham số của đường thẳng *d* trong mỗi trường hợp sau: a) *d* đi qua điểm *M*(5; 4; 1) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{a} = (2; -3; 1)\). b) *d* đi qua điểm *A*(2; -1; 3) và vuông góc với mặt phẳng (\(\alpha\)) có phương trình *x* + *y* – *z* + 5 = 0. c) *d* đi qua điểm *B*(2; 0; -3) và song song với đường thẳng \(\Delta : \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -3 + 3t \\ z = 4t \end{cases}\). d) *d* đi qua hai điểm *P*(1; 2; 3) và *Q*(5; 4; 4). **Lời giải:** a) Phương trình tham số của đường thẳng *d* đi qua *M*(5; 4; 1) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{a} = (2; -3; 1)\) là: \(\begin{cases} x = 5 + 2t \\ y = 4 - 3t \\ z = 1 + t \end{cases}\) b) Vì *d* vuông góc với mặt phẳng (\(\alpha\)): *x* + *y* – *z* + 5 = 0, nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (\(\alpha\)) cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng *d*. Vậy \(\overrightarrow{a} = (1; 1; -1)\). Phương trình tham số của *d* đi qua *A*(2; -1; 3) là: \(\begin{cases} x = 2 + t \\ y = -1 + t \\ z = 3 - t \end{cases}\) c) Vì *d* song song với \(\Delta : \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -3 + 3t \\ z = 4t \end{cases}\), nên vectơ chỉ phương của \(\Delta\) cũng là vectơ chỉ phương của *d*. Vậy \(\overrightarrow{a} = (2; 3; 4)\). Phương trình tham số của *d* đi qua *B*(2; 0; -3) là: \(\begin{cases} x = 2 + 2t \\ y = 3t \\ z = -3 + 4t \end{cases}\) d) Vectơ chỉ phương của *d* đi qua *P*(1; 2; 3) và *Q*(5; 4; 4) là \(\overrightarrow{PQ} = (4; 2; 1)\). Phương trình tham số của *d* là: \(\begin{cases} x = 1 + 4t \\ y = 2 + 2t \\ z = 3 + t \end{cases}\) **Bài 2.** Viết phương trình tham số của đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường thẳng *d*: \(\begin{cases} x = 2 + t \\ y = -3 + 2t \\ z = 1 + 3t \end{cases}\) lần lượt trên các mặt phẳng sau: a) (Oxy). b) (Oyz). **Lời giải:** a) Hình chiếu của *d* lên mặt phẳng (Oxy) có phương trình *z* = 0. Để tìm phương trình tham số của hình chiếu, ta cần tìm giao điểm của *d* với mặt phẳng (Oxy). Thay *z* = 0 vào phương trình *d*, ta được: \(\begin{cases} x = 2 + t \\ y = -3 + 2t \\ 0 = 1 + 3t \end{cases}\) => *t* = -1/3. Vậy giao điểm là *A*(2 - 1/3; -3 - 2/3; 0) = (5/3; -11/3; 0). Vectơ chỉ phương của hình chiếu là hình chiếu của vectơ chỉ phương của *d* lên mặt phẳng (Oxy). Vectơ chỉ phương của *d* là \(\overrightarrow{a} = (1; 2; 3)\). Hình chiếu của \(\overrightarrow{a}\) lên (Oxy) là \(\overrightarrow{u} = (1; 2; 0)\). Vậy phương trình tham số của hình chiếu là: \(\begin{cases} x = \frac{5}{3} + t \\ y = -\frac{11}{3} + 2t \\ z = 0 \end{cases}\) b) Tương tự, hình chiếu của *d* lên mặt phẳng (Oyz) có phương trình *x* = 0. Thay *x* = 0 vào phương trình *d*, ta được: \(\begin{cases} 0 = 2 + t \\ y = -3 + 2t \\ z = 1 + 3t \end{cases}\) => *t* = -2. Vậy giao điểm là *A*(0; -7; -5). Hình chiếu của \(\overrightarrow{a} = (1; 2; 3)\) lên (Oyz) là \(\overrightarrow{u} = (0; 2; 3)\). Vậy phương trình tham số của hình chiếu là: \(\begin{cases} x = 0 \\ y = -7 + 2t \\ z = -5 + 3t \end{cases}\) **Bài 3.** Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng *d* và *d'* cho bởi các phương trình sau: a) *d*: \(\begin{cases} x = -3 + 2t \\ y = -2 + 3t \\ z = 6 + 4t \end{cases}\) và *d'*: \(\begin{cases} x = 5 + t' \\ y = -1 - 4t' \\ z = 20 + t' \end{cases}\). b) *d*: \(\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + t \\ z = 3 - t \end{cases}\) và *d'*: \(\begin{cases} x = 1 + 2t' \\ y = -1 + 2t' \\ z = 2 - 2t' \end{cases}\). **Lời giải:** a) Giải hệ phương trình: \(\begin{cases} -3 + 2t = 5 + t' \\ -2 + 3t = -1 - 4t' \\ 6 + 4t = 20 + t' \end{cases}\) ta được *t* = 3 và *t'* = -2. Vì hệ có nghiệm duy nhất, nên hai đường thẳng *d* và *d'* cắt nhau. b) Giải hệ phương trình: \(\begin{cases} 1 + t = 1 + 2t' \\ 2 + t = -1 + 2t' \\ 3 - t = 2 - 2t' \end{cases}\) ta được: \(\begin{cases} t - 2t' = 0 \\ t - 2t' = -3 \\ t - 2t' = 1 \end{cases}\). Hệ này vô nghiệm. Vectơ chỉ phương của *d* là \(\overrightarrow{a} = (1; 1; -1)\) và của *d'* là \(\overrightarrow{a'} = (2; 2; -2) = 2\overrightarrow{a}\). Vì \(\overrightarrow{a'}\) cùng phương với \(\overrightarrow{a}\), nên hai đường thẳng *d* và *d'* song song. Do đó, *d* và *d'* là hai đường thẳng song song. **(Các bài 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 sẽ được trình bày tương tự, bao gồm lời giải chi tiết và phân tích các bước thực hiện.)** **II. Nhận xét chung** Các bài tập trong phần này tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về phương trình tham số của đường thẳng, vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến, điều kiện song song, vuông góc, cắt nhau của hai đường thẳng và đường thẳng với mặt phẳng. Để giải tốt các bài tập này, cần nắm vững các định nghĩa, tính chất và công thức liên quan. Ngoài ra, việc rèn luyện kỹ năng giải hệ phương trình cũng rất quan trọng.