Hướng dẫn giải bài tập Khái niệm về khối đa diện - Hình học 12 cơ bản
Bài viết này cung cấp lời giải chi tiết và phân tích chuyên sâu cho các bài tập trong phần "Câu hỏi và bài tập" và "Bài tập luyện tập" của sách giáo khoa Hình học 12 cơ bản, tập trung vào chủ đề "Khái niệm về khối đa diện". Mục tiêu là giúp học sinh nắm vững kiến thức nền tảng và rèn luyện kỹ năng giải toán liên quan đến khối đa diện.
CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
Bài 1. Chứng minh rằng một đa diện có các mặt là những tam giác thì tổng số các mặt của nó phải là một số chẵn. Cho ví dụ.
Lời giải:
Gọi số mặt của đa diện là n (n ∈ ℤ, n ≥ 4). Vì mỗi mặt của khối đa diện là tam giác nên có 3 cạnh. Mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt, do đó tổng số cạnh của đa diện là 3n/2.
Để số cạnh là một số tự nhiên, 3n phải chia hết cho 2, suy ra n phải là một số chẵn.
Ví dụ: Tứ diện (khối chóp tam giác) có 4 mặt, là một số chẵn.
Nhận xét và phân tích: Bài toán này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về mối quan hệ giữa số mặt, số cạnh và số đỉnh của một đa diện. Việc chứng minh n phải là số chẵn dựa trên việc đảm bảo số cạnh là một số nguyên là một kỹ năng quan trọng trong hình học không gian.
Bài 2. Chứng minh rằng một đa diện mà mỗi đỉnh của nó đều là đỉnh chung của một số lẻ mặt thì tổng số các đỉnh của nó phải là một số chẵn.
Lời giải:
Giả sử tổng số đỉnh của khối đa diện là n (n ≥ 4, n ∈ ℕ*) và các đỉnh là A1, A2, A3,…, An. Gọi số mặt chứa đỉnh Ai là 2mi + 1 (với mi ∈ ℕ). Khi đó, số cạnh xuất phát từ đỉnh Ai là 2mi + 1.
Tổng số cạnh của khối đa diện được tính bằng một nửa tổng số cạnh xuất phát từ tất cả các đỉnh:
c = (2m1 + 1 + 2m2 + 1 + … + 2mn + 1) / 2
= (2(m1 + m2 + … + mn) + n) / 2
= m1 + m2 + … + mn + n/2
Vì c là số nguyên, nên n/2 phải là số nguyên, tức là n là số chẵn.
Ví dụ: Khối chóp tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Nhận xét và phân tích: Bài toán này tương tự như bài 1, nhưng yêu cầu chứng minh tính chẵn của số đỉnh thay vì số mặt. Điểm mấu chốt là sử dụng thông tin về số mặt lẻ tại mỗi đỉnh để suy ra tính chẵn của tổng số đỉnh. Việc hiểu rõ mối liên hệ giữa số cạnh, số đỉnh và số mặt là rất quan trọng.
Bài 3. Chia một khối lập phương thành năm khối tứ diện.
Lời giải:
Xét khối lập phương ABCD.A'B'C'D'. Ta có thể chia khối lập phương thành các khối tứ diện sau:
A’ABD; C’BCD; BA’B’C’; DA’C’D’; BDA’C’.
Nhận xét và phân tích: Bài toán này đòi hỏi khả năng hình dung không gian và phân tích cấu trúc của khối lập phương. Việc chia khối lập phương thành các khối tứ diện đòi hỏi sự khéo léo trong việc chọn các đỉnh và mặt.
Bài 4. Chia khối lập phương thành sáu khối tứ diện bằng nhau.
Lời giải:
Xét khối lập phương ABCD.A'B'C'D'. Ta có thể chia khối lập phương thành các khối tứ diện bằng nhau sau:
BB’A’C’; A’ACB; BCA’C’; CA’D’C’; DACD’; AD’A’C.
Nhận xét và phân tích: Tương tự như bài 3, bài toán này kiểm tra khả năng hình dung không gian và phân tích cấu trúc của khối lập phương. Việc chia thành các khối tứ diện bằng nhau đòi hỏi sự đối xứng và cân bằng trong cách chia.
