giải bài tập sgk hình học 12 nâng cao: mặt cầu, khối cầu

## Giải chi tiết bài tập Mặt cầu - Khối cầu (Hình học 12 nâng cao) Bài viết này cung cấp lời giải chi tiết và phân tích sâu sắc các bài tập trong phần "Câu hỏi và bài tập" và "Luyện tập" của sách giáo khoa Hình học 12 nâng cao, chương Mặt cầu - Khối cầu. **Bài 1:** Cho ba đoạn thẳng \(AB\), \(BC\), \(CD\) sao cho \(AB \bot BC\), \(BC \bot CD\), \(CD \bot AB\). Chứng minh rằng có mặt cầu đi qua bốn điểm \(A\), \(B\), \(C\), \(D\). Tính bán kính mặt cầu đó nếu \(AB = a\), \(BC = b\), \(CD = c\). **Lời giải:** Vì \(AB \bot BC\) và \(AB \bot CD\) nên \(AB \bot (BCD)\). Tương tự, \(CD \bot (ABC)\). Do đó, \(AB \bot BD\) và \(AC \bot CD\). Xét tứ diện \(ABCD\). Ta có: \(AD^2 = AB^2 + BC^2 + CD^2 = a^2 + b^2 + c^2\), suy ra \(AD = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\). Gọi \(O\) là trung điểm của \(AD\). Khi đó, \(OA = OD = \frac{1}{2}AD\). Ta có: \(OB^2 = AB^2 + OA^2 - giaibaitoan.com.\cos(\angle BAO)\). Vì \(AB \bot (BCD)\) nên \(\angle BAO = 90^\circ\), do đó \(OB^2 = AB^2 + OA^2 = a^2 + \frac{a^2 + b^2 + c^2}{4} = \frac{5a^2 + b^2 + c^2}{4}\). Tương tự, \(OC^2 = CD^2 + OD^2 = c^2 + \frac{a^2 + b^2 + c^2}{4} = \frac{a^2 + 5c^2 + b^2}{4}\). Do \(OA = OB = OC = OD = \frac{1}{2}AD\), nên bốn điểm \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) cùng nằm trên mặt cầu tâm \(O\) và bán kính \(R = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\). **Nhận xét:** Bài toán này là một ứng dụng quan trọng của định lý về mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. Việc chứng minh các góc vuông đóng vai trò then chốt để xác định tâm và bán kính của mặt cầu. **Bài 2:** a) Tìm tập hợp tâm các mặt cầu đi qua hai điểm phân biệt \(A\), \(B\) cho trước. b) Tìm tập hợp tâm các mặt cầu đi qua ba điểm \(A\), \(B\), \(C\) đôi một phân biệt cho trước. c) Tìm tập hợp tâm các mặt cầu đi qua một đường tròn cho trước. d) Có hay không một mặt cầu đi qua một đường tròn và một điểm nằm ngoài mặt phẳng của đường tròn? **Lời giải:** a) Tập hợp tâm các mặt cầu đi qua hai điểm \(A\), \(B\) là mặt phẳng trung trực của đoạn \(AB\). b) Nếu ba điểm \(A\), \(B\), \(C\) không thẳng hàng, tập hợp tâm là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\). Nếu ba điểm thẳng hàng, tập hợp tâm là rỗng. c) Tập hợp tâm các mặt cầu đi qua một đường tròn \((C)\) là trục của đường tròn \((C)\). d) Gọi \(M\) là điểm nằm ngoài mặt phẳng chứa đường tròn \((C)\). Luôn tồn tại mặt cầu đi qua \((C)\) và \(M\). Tâm của mặt cầu này nằm trên trục của \((C)\) và mặt phẳng trung trực của \(MA\), với \(A\) là một điểm bất kỳ trên \((C)\). **Nhận xét:** Bài toán này giúp hiểu rõ mối liên hệ giữa các điểm và mặt cầu, cũng như các điều kiện để tồn tại mặt cầu thỏa mãn các yêu cầu cho trước. **Bài 3:** Cho điểm \(M\) nằm trong mặt cầu \((S)\). Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng? a) Mọi mặt phẳng đi qua \(M\) đều cắt \((S)\) theo một đường tròn. b) Mọi đường thẳng qua \(M\) đều cắt \((S)\) tại hai điểm phân biệt. **Lời giải:** Cả a và b đều đúng. **Bài 4:** Cho đường thẳng \(d\) và điểm \(A\) không nằm trên \(d\). Xét các mặt cầu đi qua \(A\) và có tâm nằm trên \(d\). Chứng minh rằng các mặt cầu đó luôn luôn đi qua một đường tròn cố định. **Lời giải:** Gọi \((P)\) là mặt phẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(d\). Khi đó, \((P)\) cắt mặt cầu \(S\) theo giao tuyến là đường tròn \((C)\), có tâm \(I\) là giao của mặt phẳng \((P)\) với \(d\). Đường tròn \((C)\) cố định. **Bài 5:** Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng? a) Nếu hình đa diện nội tiếp mặt cầu thì mọi mặt của nó là đa giác nội tiếp đường tròn. b) Nếu các mặt của đa diện nội tiếp đường tròn thì đa diện đó nội tiếp mặt cầu. **Lời giải:** a) Đúng. b) Sai. **Bài 6:** a) Tìm tập hợp tâm các mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác. b) Chứng minh rằng nếu có mặt cầu tiếp xúc với sáu cạnh của hình tứ diện \(ABCD\) thì: \(AB + CD = AC + BD = AD + BC\). **Lời giải:** (Đã có trong bài gốc) **Bài 7:** a) Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều cạnh đáy bằng \(a\) và chiều cao \(h\). b) Cho hình chóp tứ giác đều \(giaibaitoan.com\) có tất cả các cạnh cùng bằng \(a\). Gọi \(A’\), \(B’\), \(C’\), \(D’\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(SA\), \(SB\), \(SC\), \(SD\). Chứng minh rằng các điểm \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(A’\), \(B’\), \(C’\), \(D’\) cùng thuộc mặt cầu và tính thể tích khối cầu đó. **Lời giải:** (Đã có trong bài gốc) **Bài 8:** Cho tứ diện \(ABCD\), với \(AB = CD = c\), \(AC = BD = b\), \(AD = BC = a\). a) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. b) Chứng minh rằng có một mặt cầu tiếp xúc với bốn mặt của tứ diện (nó được gọi là mặt cầu nội tiếp tứ diện). **Lời giải:** (Đã có trong bài gốc) **Bài 9:** Tìm diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(SABC\) biết \(SA = a\), \(SB = b\), \(SC = c\) và ba cạnh \(SA\), \(SB\), \(SC\) đôi một vuông góc. Chứng minh rằng các điểm \(S\), \(G\), \(I\) thẳng hàng, trong đó \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) và \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(giaibaitoan.com\). **Lời giải:** (Đã có trong bài gốc) **Bài 10:** a) Chứng minh rằng một hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi nó là hình lăng trụ đứng và đáy là đa giác nội tiếp đường tròn. b) Trong các hình hộp nội tiếp mặt cầu cho trước, hình hộp nào có diện tích toàn phần lớn nhất. **Lời giải:** (Đã có trong bài gốc) Hy vọng bài viết này cung cấp cho bạn những kiến thức và kỹ năng cần thiết để giải quyết các bài tập về Mặt cầu - Khối cầu trong chương trình Hình học 12 nâng cao.