giải bài tập sgk hình học 12 nâng cao: mặt trụ, hình trụ và khối trụ

## Giải chi tiết bài tập Mặt trụ, Hình trụ và Khối trụ - Hình học 12 Nâng cao Bài viết này cung cấp lời giải chi tiết cho các bài tập trong phần "Câu hỏi và Bài tập" và "Luyện tập" của sách giáo khoa Hình học 12 nâng cao, tập trung vào kiến thức về Mặt trụ, Hình trụ và Khối trụ. Chúng ta sẽ cùng phân tích từng bài, làm rõ phương pháp tiếp cận và các kết quả quan trọng. **Bài 11:** Chứng minh rằng hình tròn xoay có vô số mặt phẳng đối xứng. **Lời giải:** Giả sử \(H\) là hình tròn xoay có trục \(\Delta\). Lấy một điểm \(M \in H\) và gọi \(M’\) là điểm đối xứng của \(M\) qua \(\Delta\). Khi đó, \(MM’\) là đường kính của đường tròn \({C_M}\) tạo nên \(H\), do đó \(M’ \in H\). Điều này chứng tỏ \(\Delta\) là trục đối xứng của \(H\). Mọi mặt phẳng \((P)\) đi qua \(\Delta\) đều là mặt phẳng đối xứng của \(H\). Thật vậy, nếu \(M \in H\) và \(M’\) đối xứng với \(M\) qua mặt phẳng \((P)\), thì \(M’\) cũng nằm trên đường tròn \({C_M}\) và do đó \(M’ \in H\). **Nhận xét:** Bài toán này yêu cầu sự hiểu biết về tính đối xứng của hình tròn xoay. Việc chứng minh một mặt phẳng bất kỳ đi qua trục đối xứng là mặt phẳng đối xứng đòi hỏi suy luận logic chặt chẽ. **Bài 12:** Trong mỗi trường hợp sau, gọi tên các hình tròn xoay: a) Sinh bởi ba cạnh của hình chữ nhật khi quay quanh đường thẳng chứa cạnh thứ tư. b) Sinh bởi một hình chữ nhật (kể cả điểm trong) khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh. **Lời giải:** (Hình minh họa được cung cấp trong bài gốc) a) Hình sinh bởi ba cạnh của hình chữ nhật khi quay quanh đường thẳng chứa cạnh thứ tư gọi là **hình trụ**. b) Hình sinh bởi một hình chữ nhật (kể cả điểm trong) khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh gọi là **khối trụ**. **Nhận xét:** Bài toán này kiểm tra khả năng phân biệt giữa hình trụ (bề mặt) và khối trụ (thể tích). Việc nắm vững định nghĩa và hình thành trực quan về các hình này là rất quan trọng. **Bài 13:** Cho đường tròn \((O;R)\) nằm trong mặt phẳng \((P)\). Tìm tập hợp các điểm \(M\) trong không gian sao cho hình chiếu của chúng trên \((P)\) luôn nằm trên đường tròn đã cho. **Lời giải:** (Hình minh họa được cung cấp trong bài gốc) Gọi \(\Delta\) là trục của đường tròn \((O;R)\). Nếu điểm \(M\) có hình chiếu \(M’\) nằm trên \((O;R)\) thì \(MM’ \perp (P)\) và \(MM’\) song song với \(\Delta\). Khoảng cách từ \(M’\) tới \(\Delta\) bằng \(M’O = R\). Vậy tập hợp các điểm \(M\) như thế là **mặt trụ** có trục là \(\Delta\) và có bán kính bằng \(R\). **Nhận xét:** Bài toán này là một ứng dụng trực tiếp của định nghĩa mặt trụ. Việc xác định đúng trục và bán kính là chìa khóa để giải quyết bài toán. **Bài 14:** Chứng minh rằng các tiếp tuyến của một mặt cầu song song với một đường thẳng cố định nằm trên một mặt trụ xác định. **Lời giải:** (Hình minh họa được cung cấp trong bài gốc) Cho mặt cầu \(S(O;R)\) và đường thẳng \(d\). Gọi \(\Delta\) là đường thẳng đi qua \(O\) và song song với \(d\). Giả sử \(l\) là tiếp tuyến của mặt cầu và \(l\) song song với \(d\) thì \(l\) song song với \(\Delta\) và \(l\) cách \(\Delta\) một khoảng không đổi bằng \(R\). Vậy \(l\) nằm trên mặt trụ có trục là \(\Delta\) và có bán kính bằng \(R\). **Nhận xét:** Bài toán này kết hợp kiến thức về tiếp tuyến của mặt cầu và định nghĩa mặt trụ. Việc chứng minh các tiếp tuyến song song với đường thẳng cố định nằm trên một mặt trụ đòi hỏi sự kết hợp các tính chất hình học. **Bài 15:** Một mặt phẳng đi qua trục của hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh \(2R\). a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ. b) Tính thể tích của khối trụ. c) Tính thể tích khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp hình trụ. **Lời giải:** Theo bài ra, hình trụ có bán kính đáy \(R\) và đường sinh \(h = 2R\). a) Diện tích xung quanh: \(S_{xq} = 2\pi R h = 2\pi R (2R) = 4\pi R^2\). b) Diện tích toàn phần: \(S_{tp} = S_{xq} + 2S_{đáy} = 4\pi R^2 + 2\pi R^2 = 6\pi R^2\). c) Thể tích khối trụ: \(V = \pi R^2 h = \pi R^2 (2R) = 2\pi R^3\). d) Lăng trụ tứ giác đều nội tiếp hình trụ có cạnh đáy \(R\sqrt{2}\) và chiều cao \(2R\). Vậy thể tích: \(V_{LT} = S_{đáy} \cdot h = (R\sqrt{2})^2 \cdot 2R = 4R^3\). **Nhận xét:** Bài toán này là một ứng dụng của các công thức tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình trụ. Việc hiểu rõ mối liên hệ giữa các yếu tố của hình trụ là rất quan trọng. **Bài 16:** Một hình trụ có bán kính đáy \(R\) và chiều cao \(R\sqrt{3}\). a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ. b) Tính thể tích của khối trụ giới hạn bởi hình trụ. c) Cho hai điểm \(A\) và \(B\) lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa \(AB\) và trục của hình trụ bằng \(30^0\). Tính khoảng cách giữa \(AB\) và trục của hình trụ. **Lời giải:** a) Diện tích xung quanh: \(S_{xq} = 2\pi R h = 2\pi R (R\sqrt{3}) = 2\sqrt{3} \pi R^2\). b) Diện tích toàn phần: \(S_{tp} = S_{xq} + 2S_{đáy} = 2\sqrt{3} \pi R^2 + 2\pi R^2 = 2(\sqrt{3} + 1)\pi R^2\). c) Thể tích khối trụ: \(V = \pi R^2 h = \pi R^2 (R\sqrt{3}) = \sqrt{3} \pi R^3\). d) (Hình minh họa được cung cấp trong bài gốc) Gọi \(H\) là trung điểm của \(BA'\). Khoảng cách giữa \(AB\) và trục của hình trụ là \(O'H\). Ta có \(BA' = AA' \tan 30^0 = R\). Do đó, \(O'H = \frac{R\sqrt{3}}{2}\). **Nhận xét:** Bài toán này kết hợp các công thức tính diện tích và thể tích với việc giải quyết bài toán không gian. Việc sử dụng hình học không gian và các định lý liên quan là cần thiết để tìm ra kết quả chính xác.