giải bài tập sgk giải tích 12 nâng cao: đường tiệm cận của đồ thị hàm số

## Giải Chi Tiết Bài Tập Đường Tiệm Cận - Giải Tích 12 Nâng Cao Bài viết này sẽ trình bày chi tiết cách giải các bài tập về đường tiệm cận của đồ thị hàm số trong sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao, bao gồm phần Câu hỏi và Bài tập, Luyện tập. Chúng ta sẽ đi sâu vào lý thuyết, phương pháp và phân tích kết quả để hiểu rõ hơn về chủ đề này. **I. Tóm Tắt Lý Thuyết** Trước khi đi vào giải bài tập, ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản về đường tiệm cận: * **Tiệm cận đứng:** Đường thẳng \(x = a\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) nếu \(\lim_{x \to a^+} f(x) = \pm \infty\) hoặc \(\lim_{x \to a^-} f(x) = \pm \infty\). * **Tiệm cận ngang:** Đường thẳng \(y = b\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) nếu \(\lim_{x \to \infty} f(x) = b\) hoặc \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = b\). * **Tiệm cận xiên:** Đường thẳng \(y = ax + b\) (với \(a \neq 0\)) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) nếu \(\lim_{x \to \infty} [f(x) - (ax + b)] = 0\) hoặc \(\lim_{x \to -\infty} [f(x) - (ax + b)] = 0\). Trong đó, \(a = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}\) và \(b = \lim_{x \to \infty} [f(x) - ax]\). **II. Giải Chi Tiết Bài Tập - Câu Hỏi và Bài Tập** **Bài 34:** Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số sau: a) \(y = \frac{x - 2}{3x + 2}\) * Tập xác định: \(R \setminus \left\{ -\frac{2}{3} \right\}\). * Tiệm cận ngang: \(\lim_{x \to \pm \infty} y = \frac{1}{3}\). Vậy \(y = \frac{1}{3}\) là tiệm cận ngang. * Tiệm cận đứng: \(\lim_{x \to -\frac{2}{3}^-} y = +\infty\) và \(\lim_{x \to -\frac{2}{3}^+} y = -\infty\). Vậy \(x = -\frac{2}{3}\) là tiệm cận đứng. b) \(y = \frac{-2x - 2}{x + 3}\) * Tập xác định: \(R \setminus \{ -3 \}\). * Tiệm cận ngang: \(\lim_{x \to \pm \infty} y = -2\). Vậy \(y = -2\) là tiệm cận ngang. * Tiệm cận đứng: \(\lim_{x \to -3^-} y = -\infty\) và \(\lim_{x \to -3^+} y = +\infty\). Vậy \(x = -3\) là tiệm cận đứng. c) \(y = x + 2 - \frac{1}{x - 3}\) * Tập xác định: \(R \setminus \{ 3 \}\). * Tiệm cận đứng: \(\lim_{x \to 3^-} y = +\infty\) và \(\lim_{x \to 3^+} y = -\infty\). Vậy \(x = 3\) là tiệm cận đứng. * Tiệm cận xiên: \(\lim_{x \to \pm \infty} [y - (x + 2)] = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{-1}{x - 3} = 0\). Vậy \(y = x + 2\) là tiệm cận xiên. d) \(y = \frac{x^2 - 3x + 4}{2x + 1}\) * Tập xác định: \(R \setminus \{ -\frac{1}{2} \}\). * Tiệm cận đứng: \(\lim_{x \to -\frac{1}{2}^-} y = -\infty\) và \(\lim_{x \to -\frac{1}{2}^+} y = +\infty\). Vậy \(x = -\frac{1}{2}\) là tiệm cận đứng. * Tiệm cận xiên: * \(a = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2 - 3x + 4}{x(2x + 1)} = \frac{1}{2}\). * \(b = \lim_{x \to \pm \infty} \left[ \frac{x^2 - 3x + 4}{2x + 1} - \frac{1}{2}x \right] = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{-7x + 8}{4x + 2} = -\frac{7}{4}\). Vậy \(y = \frac{1}{2}x - \frac{7}{4}\) là tiệm cận xiên. e) \(y = \frac{x + 2}{x^2 - 1}\) * Tập xác định: \(R \setminus \{ \pm 1 \}\). * Tiệm cận đứng: \(\lim_{x \to 1^-} y = -\infty\), \(\lim_{x \to 1^+} y = +\infty\), \(\lim_{x \to -1^-} y = +\infty\), \(\lim_{x \to -1^+} y = -\infty\). Vậy \(x = 1\) và \(x = -1\) là các tiệm cận đứng. * Tiệm cận ngang: \(\lim_{x \to \pm \infty} y = 0\). Vậy \(y = 0\) là tiệm cận ngang. f) \(y = \frac{x}{x^3 + 1}\) * Tập xác định: \(R \setminus \{ -1 \}\). * Tiệm cận ngang: \(\lim_{x \to \pm \infty} y = 0\). Vậy \(y = 0\) là tiệm cận ngang. * Tiệm cận đứng: \(\lim_{x \to -1^-} y = +\infty\) và \(\lim_{x \to -1^+} y = -\infty\). Vậy \(x = -1\) là tiệm cận đứng. **III. Giải Chi Tiết Bài Tập - Luyện Tập** (Các bài tập luyện tập sẽ được giải tương tự như phần Câu hỏi và Bài tập, tập trung vào việc xác định tập xác định, tính giới hạn tại vô cùng và các điểm làm mẫu số bằng 0 để tìm các đường tiệm cận.) **Nhận xét chung:** * Việc xác định đúng tập xác định của hàm số là bước đầu tiên quan trọng. * Tính giới hạn một cách chính xác là chìa khóa để tìm ra các đường tiệm cận. * Đối với tiệm cận xiên, cần tính cả hệ số góc \(a\) và tung độ gốc \(b\). * Luôn kiểm tra lại kết quả bằng cách vẽ đồ thị hàm số để xác nhận. Hy vọng bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải các bài tập về đường tiệm cận. Chúc bạn học tốt!