giải bài tập sgk giải tích 12 nâng cao: câu hỏi và bài tập ôn tập chương 1

## Giải Chi Tiết Bài Tập Ôn Tập Chương 1 - Giải Tích 12 Nâng Cao Bài viết này cung cấp lời giải chi tiết và phân tích chuyên sâu cho các bài tập trong phần "Câu hỏi và bài tập ôn tập chương 1" của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao. Mục tiêu là giúp học sinh nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và hiểu rõ bản chất của các khái niệm. **Bài 68. Chứng minh các bất đẳng thức:** a) \(\tan x > x\) với mọi \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\). **Lời giải và phân tích:** Để chứng minh bất đẳng thức này, ta sử dụng phương pháp xét hàm số. Xét hàm số \(f(x) = \tan x – x\) trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\). * **Tính đạo hàm:** \(f'(x) = \frac{1}{\cos^2 x} – 1 = \frac{1 - \cos^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \tan^2 x\). * **Xét dấu đạo hàm:** Vì \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\), ta có \(\sin x > 0\) và \(\cos x > 0\), do đó \(\tan^2 x > 0\). Vậy \(f'(x) > 0\) trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\). * **Kết luận:** Hàm số \(f(x)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\). Vì \(f(0) = \tan 0 – 0 = 0\), nên với \(x > 0\), ta có \(f(x) > f(0)\), tức là \(\tan x – x > 0\) hay \(\tan x > x\). **Nhận xét:** Việc sử dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu của hàm số là một kỹ thuật quan trọng trong chứng minh bất đẳng thức. b) \(\tan x > x + \frac{x^3}{3}\) với mọi \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\). **Lời giải và phân tích:** Xét hàm số \(f(x) = \tan x – x – \frac{x^3}{3}\) trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\). * **Tính đạo hàm:** \(f'(x) = \frac{1}{\cos^2 x} – 1 – x^2 = \frac{1 - \cos^2 x}{\cos^2 x} – x^2 = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} – x^2 = \tan^2 x – x^2\). * **Xét dấu đạo hàm:** Ta đã chứng minh ở phần a) rằng \(\tan x > x\) với \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\). Do đó, \(\tan^2 x > x^2\) với \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\). Vậy \(f'(x) > 0\) trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\). * **Kết luận:** Hàm số \(f(x)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\). Vì \(f(0) = \tan 0 – 0 – \frac{0^3}{3} = 0\), nên với \(x > 0\), ta có \(f(x) > f(0)\), tức là \(\tan x – x – \frac{x^3}{3} > 0\) hay \(\tan x > x + \frac{x^3}{3}\). **Nhận xét:** Bất đẳng thức này là một dạng mở rộng của bất đẳng thức \(\tan x > x\). Việc sử dụng kết quả của câu a) giúp đơn giản hóa việc xét dấu đạo hàm. **Bài 69. Xét chiều biến thiên và tìm cực trị của các hàm số:** a) \(y = \sqrt{3x + 1}\). **Lời giải và phân tích:** * **Tập xác định:** \(D = \left[ { – \frac{1}{3}; + \infty } \right)\). * **Tính đạo hàm:** \(y' = \frac{3}{2\sqrt{3x + 1}}\). * **Xét dấu đạo hàm:** Vì \(x \ge -\frac{1}{3}\), ta có \(3x + 1 \ge 0\), do đó \(\sqrt{3x + 1} > 0\). Vậy \(y' > 0\) với mọi \(x \in D\). * **Kết luận:** Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { – \frac{1}{3}; + \infty } \right)\). Hàm số không có cực trị, chỉ có cực tiểu tại \(x = -\frac{1}{3}\) và \(y(-\frac{1}{3}) = 0\). b) \(y = \sqrt{4x – x^2}\). **Lời giải và phân tích:** * **Tập xác định:** \(D = [0; 4]\). * **Tính đạo hàm:** \(y' = \frac{4 – 2x}{2\sqrt{4x – x^2}} = \frac{2 – x}{\sqrt{4x – x^2}}\). * **Xét dấu đạo hàm:** * \(y' > 0\) khi \(2 – x > 0 \Leftrightarrow x < 2\). * \(y' < 0\) khi \(2 – x < 0 \Leftrightarrow x > 2\). * **Kết luận:** Hàm số đồng biến trên khoảng \((0; 2)\) và nghịch biến trên khoảng \((2; 4)\). Hàm số đạt cực đại tại \(x = 2\) và \(y(2) = \sqrt{4(2) - 2^2} = 2\). c) \(y = x + \sqrt{x}\). **Lời giải và phân tích:** * **Tập xác định:** \(D = [0; + \infty )\). * **Tính đạo hàm:** \(y' = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x}}\). * **Xét dấu đạo hàm:** Vì \(x > 0\), ta có \(\sqrt{x} > 0\), do đó \(\frac{1}{2\sqrt{x}} > 0\). Vậy \(y' > 0\) với mọi \(x \in D\). * **Kết luận:** Hàm số đồng biến trên khoảng \((0; + \infty )\). Hàm số có một giá trị cực tiểu tại \(x = 0\) và \(y(0) = 0\). d) \(y = x – \sqrt{x}\). **Lời giải và phân tích:** * **Tập xác định:** \(D = [0; + \infty )\). * **Tính đạo hàm:** \(y' = 1 – \frac{1}{2\sqrt{x}}\). * **Tìm điểm dừng:** \(y' = 0 \Leftrightarrow 1 – \frac{1}{2\sqrt{x}} = 0 \Leftrightarrow 2\sqrt{x} = 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}\). * **Xét dấu đạo hàm:** * \(y' > 0\) khi \(x > \frac{1}{4}\). * \(y' < 0\) khi \(0 \le x < \frac{1}{4}\). * **Kết luận:** Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;\frac{1}{4}} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( {\frac{1}{4}; + \infty } \right)\). Hàm số có một giá trị cực tiểu tại \(x = \frac{1}{4}\) và \(y(\frac{1}{4}) = \frac{1}{4} – \sqrt{\frac{1}{4}} = -\frac{1}{4}\). **(Các bài tập 70 - 79 và bài tập trắc nghiệm sẽ được giải và phân tích tương tự trong các phần tiếp theo để đảm bảo độ dài phù hợp.)**