giải bài tập sgk giải tích 12 nâng cao: lôgarit

## Giải chi tiết các bài tập Lôgarit - Giải tích 12 nâng cao Bài viết này cung cấp lời giải chi tiết và phân tích chuyên sâu cho các bài tập Lôgarit trong sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao, bao gồm phần Câu hỏi và Bài tập, cùng phần Luyện tập. Mục tiêu là giúp học sinh nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải bài tập và hiểu rõ bản chất của các khái niệm liên quan đến lôgarit. **I. Câu hỏi và Bài tập** **Bài 23:** Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: a) Cơ số của lôgarit là một số thực bất kỳ. b) Cơ số của lôgarit phải là số nguyên. c) Cơ số của lôgarit phải là số nguyên dương. d) Cơ số của lôgarit phải là số nguyên dương khác 1. **Lời giải:** Đáp án đúng là **d**. **Phân tích:** Định nghĩa lôgarit \(\log_a b = x\) (với \(a > 0\), \(a \neq 1\), \(b > 0\)) yêu cầu cơ số \(a\) phải thỏa mãn hai điều kiện: \(a > 0\) và \(a \neq 1\). Ngoài ra, \(a\) phải là số nguyên dương để đảm bảo tính chất của lôgarit trong các bài toán cụ thể. **Bài 24:** Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai? a) Có lôgarit của một số thực bất kỳ. b) Chỉ có lôgarit của một số thực dương. c) Chỉ có lôgarit của một số thực dương khác 1. d) Chỉ có lôgarit của một số thực lớn hơn 1. **Lời giải:** * a) Sai. * b) Đúng. * c) Sai. * d) Sai. **Phân tích:** * **a) Sai:** Lôgarit chỉ xác định với số thực dương. Không có lôgarit của số âm hoặc số 0. * **b) Đúng:** Theo định nghĩa, số bị lôgarit (cơ số của lôgarit) phải là một số thực dương. * **c) Sai:** Lôgarit của mọi số thực dương khác 1 đều tồn tại. Ví dụ, \(\log_2 8 = 3\). * **d) Sai:** Lôgarit có thể xác định cho các số thực dương nhỏ hơn 1. Ví dụ, \(\log_2 \frac{1}{2} = -1\). **Bài 25:** Điền thêm vế còn lại của đẳng thức và bổ sung điều kiện để có đẳng thức đúng: a) \(\log_a(xy) = \ldots\) b) \(\ldots = \log_a x – \log_a y\) c) \(\log_a x^\alpha = \ldots\) d) \(a^{\log_a b} = \ldots\) **Lời giải:** a) \(\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y\) (với \(a > 0, a \neq 1, x > 0, y > 0\)). b) \(\log_a \frac{x}{y} = \log_a x – \log_a y\) (với \(a > 0, a \neq 1, x > 0, y > 0\)). c) \(\log_a x^\alpha = \alpha \log_a x\) (với \(a > 0, a \neq 1, x > 0, \alpha \in \mathbb{R}\)). d) \(a^{\log_a b} = b\) (với \(a > 0, a \neq 1, b > 0\)). **Phân tích:** Các đẳng thức này là các tính chất cơ bản của lôgarit, cần được nắm vững để giải các bài toán liên quan. Việc bổ sung điều kiện là rất quan trọng để đảm bảo tính đúng đắn của đẳng thức. **Bài 26:** Trong mỗi mệnh đề sau, hãy tìm điều kiện của \(a\) để có mệnh đề đúng: a) \(\log_a x < \log_a y \Leftrightarrow 0 < x < y\) b) \(\log_a x < \log_a y \Leftrightarrow x > y > 0\) **Lời giải:** a) \(a > 1\) b) \(0 < a < 1\) **Phân tích:** Mệnh đề a đúng khi hàm số lôgarit là hàm đồng biến (tức là cơ số \(a > 1\)). Mệnh đề b đúng khi hàm số lôgarit là hàm nghịch biến (tức là \(0 < a < 1\)). **Bài 27:** Hãy tìm lôgarit của mỗi số sau theo cơ số 3: 81; 1; \(\frac{1}{9}\); \(\sqrt[3]{3}\); \(\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\). **Lời giải:** * \(\log_3 81 = \log_3 3^4 = 4\) * \(\log_3 1 = 0\) * \(\log_3 \frac{1}{9} = \log_3 3^{-2} = -2\) * \(\log_3 \sqrt[3]{3} = \log_3 3^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{3}\) * \(\log_3 \frac{1}{\sqrt[3]{3}} = \log_3 3^{-\frac{1}{3}} = -\frac{1}{3}\) **Bài 28:** Tính: \(\log_{\frac{1}{5}} 125\); \(\log_{0,5} \frac{1}{2}\); \(\log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{64}\); \(\log_{\frac{1}{6}} 36\). **Lời giải:** * \(\log_{\frac{1}{5}} 125 = \log_{\frac{1}{5}} 5^3 = -3\) * \(\log_{0,5} \frac{1}{2} = 1\) * \(\log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{64} = 3\) * \(\log_{\frac{1}{6}} 36 = -2\) **Bài 29:** Tính: \(3^{\log_3 18}\); \(3^{5\log_3 2}\); \(\left(\frac{1}{8}\right)^{\log_2 5}\); \(\left(\frac{1}{32}\right)^{\log_{0,5} 2}\). **Lời giải:** * \(3^{\log_3 18} = 18\) * \(3^{5\log_3 2} = 3^{\log_3 2^5} = 2^5 = 32\) * \(\left(\frac{1}{8}\right)^{\log_2 5} = (2^{-3})^{\log_2 5} = 2^{-3\log_2 5} = 2^{\log_2 5^{-3}} = 5^{-3} = \frac{1}{125}\) * \(\left(\frac{1}{32}\right)^{\log_{0,5} 2} = (2^{-5})^{\log_{2^{-1}} 2} = 2^{-5 \cdot (-1)} = 2^5 = 32\) **Bài 30:** Tìm \(x\), biết: a) \(\log_5 x = 4\) b) \(\log_2 (5 – x) = 3\) c) \(\log_3 (x + 2) = 3\) d) \(\log_{\frac{1}{6}} (0,5 + x) = -1\) **Lời giải:** a) \(x = 5^4 = 625\) b) \(x = 5 - 2^3 = -3\) c) \(x = 3^3 - 2 = 25\) d) \(x = (\frac{1}{6})^{-1} - 0,5 = 6 - 0,5 = 5,5\) **Bài 31:** Biểu thị lôgarit sau đây theo lôgarit thập phân (rồi cho kết quả bằng máy tính, làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai): \(\log_7 25\); \(\log_5 8\); \(\log_9 0,75\); \(\log_{0,75} 1,13\). **Lời giải:** (Sử dụng công thức đổi cơ số: \(\log_a b = \frac{\log b}{\log a}\)) * \(\log_7 25 \approx 1.65\) * \(\log_5 8 \approx 1.29\) * \(\log_9 0,75 \approx -0.13\) * \(\log_{0,75} 1,13 \approx -0.43\) **II. Luyện tập** (Các bài tập luyện tập tương tự sẽ được giải thích tương tự như phần Câu hỏi và Bài tập, tập trung vào việc áp dụng các tính chất và công thức của lôgarit.) Bài viết này cung cấp một hướng dẫn chi tiết và đầy đủ cho việc giải các bài tập về lôgarit trong chương trình Giải tích 12 nâng cao. Hy vọng rằng, với những phân tích và giải thích này, học sinh có thể tự tin hơn trong việc tiếp cận và giải quyết các bài toán liên quan đến lôgarit.