giải bài tập sgk giải tích 12 nâng cao: số e và lôgarit tự nhiên

## Giải chi tiết các bài tập Số e và Lôgarit tự nhiên - Giải tích 12 nâng cao Bài viết này sẽ trình bày chi tiết lời giải các bài tập trong phần "Câu hỏi và bài tập" và "Bài tập" của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao, tập trung vào chủ đề số e và lôgarit tự nhiên. Chúng ta sẽ cùng phân tích các dạng bài, cách tiếp cận và những lưu ý quan trọng để nắm vững kiến thức. **Bài 42: Phân tích và sửa lỗi trong lập luận** Bài toán yêu cầu tìm ra sai lầm trong lập luận sử dụng tính chất của lôgarit. **Lời giải:** Lập luận sai ở bước \(\ln (2e) = \ln e + \ln e\). Công thức đúng phải là \(\ln (ab) = \ln a + \ln b\) với \(a, b > 0\). Trong trường hợp này, ta có \(\ln (2e) = \ln 2 + \ln e\). **Nhận xét:** Bài tập này nhấn mạnh tầm quan trọng của việc nắm vững chính xác các tính chất của lôgarit. Việc nhầm lẫn các tính chất có thể dẫn đến kết quả sai lệch nghiêm trọng. **Bài 43: Biểu diễn các số theo a = ln 2, b = ln 5** Bài tập này rèn luyện kỹ năng vận dụng các tính chất của lôgarit để biểu diễn một biểu thức lôgarit thông qua các giá trị cho trước. **Lời giải:** * \(\ln 500 = \ln (5^3 \cdot 2^2) = 3\ln 5 + 2\ln 2 = 3b + 2a\) * \(\ln \frac{16}{25} = \ln 16 - \ln 25 = \ln 2^4 - \ln 5^2 = 4\ln 2 - 2\ln 5 = 4a - 2b\) * \(\ln 6,25 = \ln \frac{625}{100} = \ln \frac{5^4}{2^2 \cdot 5^2} = \ln \frac{5^2}{2^2} = \ln (\frac{5}{2})^2 = 2\ln \frac{5}{2} = 2(\ln 5 - \ln 2) = 2b - 2a\) * \(\ln \frac{1}{2} + \ln \frac{2}{3} + \ldots + \ln \frac{98}{99} + \ln \frac{99}{100} = \ln (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \ldots \cdot \frac{98}{99} \cdot \frac{99}{100}) = \ln \frac{1}{100} = \ln 1 - \ln 100 = - \ln 100 = - \ln (2^2 \cdot 5^2) = -2\ln 2 - 2\ln 5 = -2a - 2b\) **Nhận xét:** Để giải quyết bài toán này hiệu quả, cần phân tích số cần tính thành tích của các số có lôgarit đã cho. Việc sử dụng thành thạo các tính chất của lôgarit như \(\ln(ab) = \ln a + \ln b\), \(\ln(\frac{a}{b}) = \ln a - \ln b\), và \(\ln a^n = n\ln a\) là rất quan trọng. **Bài 44: Chứng minh đẳng thức** Bài tập này yêu cầu chứng minh một đẳng thức lôgarit bằng cách biến đổi và sử dụng các tính chất của lôgarit. **Lời giải:** Biến đổi vế trái: \(\frac{7}{16}\ln (3 + 2\sqrt{2}) - 4\ln (\sqrt{2} + 1) - \frac{25}{8}\ln (\sqrt{2} - 1)\) \( = \ln (3 + 2\sqrt{2})^{\frac{7}{16}} - \ln (\sqrt{2} + 1)^4 - \ln (\sqrt{2} - 1)^{\frac{25}{8}}\) \( = \ln \frac{(3 + 2\sqrt{2})^{\frac{7}{16}}}{(\sqrt{2} + 1)^4 (\sqrt{2} - 1)^{\frac{25}{8}}}\) Vì \(3 + 2\sqrt{2} = (\sqrt{2} + 1)^2\) nên: \( = \ln \frac{((\sqrt{2} + 1)^2)^{\frac{7}{16}}}{(\sqrt{2} + 1)^4 (\sqrt{2} - 1)^{\frac{25}{8}}}\) \( = \ln \frac{(\sqrt{2} + 1)^{\frac{7}{8}}}{(\sqrt{2} + 1)^4 (\sqrt{2} - 1)^{\frac{25}{8}}}\) \( = \ln \frac{1}{(\sqrt{2} + 1)^{\frac{25}{8}} (\sqrt{2} - 1)^{\frac{25}{8}}}\) \( = \ln \frac{1}{[(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)]^{\frac{25}{8}}}\) \( = \ln \frac{1}{(2 - 1)^{\frac{25}{8}}} = \ln \frac{1}{1^{\frac{25}{8}}} = \ln 1 = 0\) **Nhận xét:** Bài toán này đòi hỏi sự khéo léo trong việc nhận ra các mối liên hệ giữa các biểu thức và sử dụng các tính chất của lôgarit để đơn giản hóa biểu thức. **Bài 45: Ứng dụng của số e trong bài toán tăng trưởng vi khuẩn** Bài tập này áp dụng công thức tăng trưởng theo hàm mũ \(S = Ae^{rt}\) để giải quyết một bài toán thực tế. **Lời giải:** * Tìm r: \(300 = 100e^{5r} \Rightarrow 3 = e^{5r} \Rightarrow 5r = \ln 3 \Rightarrow r = \frac{\ln 3}{5}\) * Số lượng vi khuẩn sau 10 giờ: \(S = 100e^{\frac{\ln 3}{5} \cdot 10} = 100e^{2\ln 3} = 100 \cdot 3^2 = 900\) * Thời gian để số lượng vi khuẩn tăng gấp đôi: \(200 = 100e^{rt} \Rightarrow 2 = e^{rt} \Rightarrow rt = \ln 2 \Rightarrow t = \frac{\ln 2}{r} = \frac{\ln 2}{\frac{\ln 3}{5}} = 5\frac{\ln 2}{\ln 3} \approx 3.15\) giờ (tương đương 3 giờ 9 phút). **Nhận xét:** Bài toán này minh họa ứng dụng thực tế của hàm số mũ và lôgarit trong việc mô tả các hiện tượng tăng trưởng. **Bài 46: Ứng dụng của số e trong bài toán phân rã phóng xạ** Bài tập này áp dụng công thức phân rã \(S = Ae^{rt}\) để giải quyết bài toán về phân rã phóng xạ. **Lời giải:** * Tính r: \(\frac{1}{2}A = Ae^{24360r} \Rightarrow \frac{1}{2} = e^{24360r} \Rightarrow r = \frac{\ln \frac{1}{2}}{24360} = -\frac{\ln 2}{24360}\) * Tính \(t_0\): \(1 = 10e^{rt_0} \Rightarrow \frac{1}{10} = e^{rt_0} \Rightarrow rt_0 = \ln \frac{1}{10} = -\ln 10 \Rightarrow t_0 = \frac{-\ln 10}{r} = \frac{-\ln 10}{-\frac{\ln 2}{24360}} = 24360 \frac{\ln 10}{\ln 2} \approx 82235\) năm. **Nhận xét:** Bài toán này cho thấy ứng dụng của hàm số mũ và lôgarit trong việc mô tả các hiện tượng suy giảm, như phân rã phóng xạ.