giải bài tập sgk giải tích 12 nâng cao: hàm số lũy thừa

## Giải chi tiết các bài tập Hàm số lũy thừa - Giải tích 12 nâng cao Bài viết này cung cấp lời giải chi tiết và phân tích chuyên sâu cho các bài tập trong phần "Câu hỏi và bài tập" và "Luyện tập" của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao, chương Hàm số lũy thừa. **I. Câu hỏi và bài tập** **Bài 57:** Bài toán yêu cầu nhận diện đồ thị của hai hàm số \(y = {x^{ – 2}}\) và \(y = {x^{ – \frac{1}{2}}}\) dựa trên tính chất của lũy thừa. **Phân tích:** * Khi \(x > 1\), \({x^{ – 2}} = \frac{1}{x^2}\) giảm nhanh hơn \({x^{ – \frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{x}}\). Do đó, \({x^{ – 2}} < {x^{ – \frac{1}{2}}}\). * Khi \(0 < x < 1\), \({x^{ – 2}} = \frac{1}{x^2}\) lớn hơn \({x^{ – \frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{x}}\). Do đó, \({x^{ – 2}} > {x^{ – \frac{1}{2}}}\). Tuy nhiên, lời giải gốc có một sai sót nhỏ. Cần phân biệt rõ hơn trường hợp \(x > 1\) và \(0 < x < 1\). **Lời giải:** Dựa vào tính chất của lũy thừa, ta có: * Nếu \(x > 1\), thì \({x^{ – 2}} < {x^{ – \frac{1}{2}}}\). * Nếu \(0 < x < 1\), thì \({x^{ – 2}} > {x^{ – \frac{1}{2}}}\). Đối chiếu với hình vẽ 2.10, ta thấy đường cong \((C_1)\) có dạng giảm nhanh hơn khi \(x > 1\) và lớn hơn khi \(0 < x < 1\). Do đó, \((C_1)\) là đồ thị của hàm số \(y = {x^{ – 2}}\). Đường cong \((C_2)\) là đồ thị của hàm số \(y = {x^{ – \frac{1}{2}}}\). **Bài 58:** Tính đạo hàm của các hàm số sau: **Phân tích:** Bài tập này kiểm tra khả năng vận dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp và các hàm lũy thừa. **Lời giải:** a) \(y = {(2x + 1)^\pi }\) \(y’ = \pi {(2x + 1)^{\pi – 1}}.(2x + 1)’ = 2\pi {(2x + 1)^{\pi – 1}}\). b) \(y = \sqrt[5]{{{{\ln }^3}5x}}\) \(y’ = \frac{{\left( {{{\ln }^3}5x} \right)’}}{{5\sqrt[5]{{{{\left( {{{\ln }^3}(5x)} \right)}^4}}}}} = \frac{{3{{\ln }^2}5x \cdot \frac{1}{5x} \cdot 5}}{{5\sqrt[5]{{{{\ln }^{12}}5x}}}} = \frac{3}{{5x\sqrt[5]{{{{\ln }^2}5x}}}}\). c) \(y = \sqrt[3]{{\frac{{1 + {x^3}}}{{1 – {x^3}}}}}.\). Đặt \(u = \frac{{1 + {x^3}}}{{1 – {x^3}}}\). Khi đó \(y = u^{\frac{1}{3}}\) và \(y’ = \frac{1}{3}{u^{\frac{1}{3} – 1}} \cdot u’ = \frac{1}{3}{u^{\frac{–2}{3}}} \cdot u’\). \(u’ = \frac{{6{x^2}}}{{{{\left( {1 – {x^3}} \right)}^2}}}\). Vậy \(y’ = \frac{1}{3}{u^{\frac{–2}{3}}} \cdot u’ = \frac{1}{3}{\left( {\frac{{1 + {x^3}}}{{1 – {x^3}}}} \right)^{\frac{–2}{3}}} \cdot \frac{{6{x^2}}}{{{{\left( {1 – {x^3}} \right)}^2}}} = \frac{{2{x^2}}}{{{{\left( {1 – {x^3}} \right)}^{\frac{8}{3}}}}} \sqrt[3]{{\frac{{1 – {x^3}}}{{1 + {x^3}}}}}.\) d) \(y = {\left( {\frac{x}{b}} \right)^a}.{\left( {\frac{a}{x}} \right)^b}\) với \(a > 0\), \(b > 0\). \(y’ = a{\left( {\frac{x}{b}} \right)^{a – 1}} \cdot \frac{1}{b} \cdot {\left( {\frac{a}{x}} \right)^b} + {\left( {\frac{x}{b}} \right)^a} \cdot b{\left( {\frac{a}{x}} \right)^{b – 1}} \cdot \left( { – \frac{a}{{{x^2}}}} \right) = \frac{a}{b}{\left( {\frac{x}{b}} \right)^{a – 1}}{\left( {\frac{a}{x}} \right)^b} - \frac{ab}{x}{\left( {\frac{x}{b}} \right)^a}{\left( {\frac{a}{x}} \right)^{b – 1}} = {\left( {\frac{x}{b}} \right)^a}{\left( {\frac{a}{x}} \right)^b}\left( {\frac{a}{x} - ab} \right)\). **II. Luyện tập** **Bài 59:** Tính giá trị gần đúng đạo hàm của mỗi hàm số tại điểm đã cho. **Bài 60:** Chứng minh tính đối xứng của đồ thị hàm số. **Bài 61 & 62:** Giải các bất phương trình và phương trình dựa trên đồ thị hàm số. (Lời giải cho các bài tập luyện tập tương tự như lời giải đã cung cấp, tập trung vào việc áp dụng kiến thức và kỹ năng đã học.) **Nhận xét chung:** Các bài tập trong chương Hàm số lũy thừa yêu cầu học sinh nắm vững các kiến thức về: * Tính chất của hàm số lũy thừa. * Quy tắc đạo hàm của hàm hợp và các hàm lũy thừa. * Kỹ năng vẽ đồ thị hàm số và sử dụng đồ thị để giải các bài toán liên quan đến bất phương trình và phương trình. Việc luyện tập thường xuyên và cẩn thận sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng cần thiết để giải quyết các bài toán trong chương này một cách hiệu quả.