Hướng dẫn giải chi tiết các bài tập Nguyên hàm – Giải tích 12 nâng cao
Bài viết này cung cấp lời giải chi tiết cho các bài tập về phương pháp tìm nguyên hàm trong sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao, bao gồm các bài tập trong phần "Câu hỏi và bài tập" và "Luyện tập". Chúng ta sẽ đi qua các ví dụ minh họa cho cả hai phương pháp chính: đổi biến số và lấy nguyên hàm từng phần.
I. Phương pháp đổi biến số
Phương pháp đổi biến số dựa trên việc tìm một hàm số \(u = u(x)\) sao cho biểu thức tích phân trở nên đơn giản hơn sau khi thay thế. Việc lựa chọn \(u\) phù hợp là yếu tố then chốt để áp dụng thành công phương pháp này.
Bài 5: Dùng phương pháp đổi biến số, tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) \(f(x) = \frac{{9{x^2}}}{{\sqrt {1 – {x^3}} }}\).
Đặt \(u = 1 – {x^3}\), suy ra \(du = – 3{x^2}dx\). Do đó, \(\int {\frac{{9{x^2}}}{{\sqrt {1 – {x^3}} }}dx} = \int {\frac{{ – 3du}}{{\sqrt u }}} = – 3\int {{u^{ – \frac{1}{2}}}} du = – 6\sqrt u + C = – 6\sqrt {1 – {x^3}} + C\).
Nhận xét: Việc chọn \(u = 1 – {x^3}\) dựa trên việc nhận thấy đạo hàm của \(u\) liên quan trực tiếp đến biểu thức trong căn thức của tích phân.
b) \(f(x) = \frac{1}{{\sqrt {5x + 4} }}\).
Đặt \(u = 5x + 4\), suy ra \(du = 5dx\). Do đó, \(\int {\frac{1}{{\sqrt {5x + 4} }}dx} = \frac{1}{5}\int {\frac{1}{{\sqrt u }}}du = \frac{1}{5}\int {{u^{ – \frac{1}{2}}}} du = \frac{2}{5}\sqrt u + C = \frac{2}{5}\sqrt {5x + 4} + C\).
Nhận xét: Việc đặt \(u = 5x + 4\) giúp đơn giản hóa biểu thức dưới dấu căn.
c) \(f(x) = x\sqrt[4]{{1 – {x^2}}}\).
Đặt \(u = 1 – {x^2}\), suy ra \(du = – 2xdx\). Do đó, \(\int x \sqrt[4]{{1 – {x^2}}}dx = – \frac{1}{2}\int {\sqrt[4]{u}du} = – \frac{1}{2}\int {{u^{\frac{1}{4}}}} du = – \frac{2}{5}{u^{\frac{5}{4}}} + C = – \frac{2}{5}\sqrt {{{\left( {1 – {x^2}} \right)}^{\frac{5}{4}}}} + C\).
Nhận xét: Việc đặt \(u = 1 – {x^2}\) giúp loại bỏ biểu thức \(x\) và đơn giản hóa lũy thừa bậc 4.
d) \(f(x) = \frac{1}{{\sqrt x {{(1 + \sqrt x )}^2}}}\).
Đặt \(u = 1 + \sqrt x\), suy ra \(du = \frac{1}{{2\sqrt x }}dx\). Do đó, \(\int {\frac{1}{{\sqrt x {{(1 + \sqrt x )}^2}}}dx} = 2\int {\frac{1}{{{u^2}}}du} = – \frac{2}{u} + C = – \frac{2}{{1 + \sqrt x }} + C\).
Nhận xét: Việc đặt \(u = 1 + \sqrt x\) giúp đơn giản hóa mẫu số của tích phân.
II. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần
Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần dựa trên công thức \(\int u dv = uv – \int v du\). Việc lựa chọn \(u\) và \(dv\) hợp lý là rất quan trọng. Thông thường, ta chọn \(u\) là hàm số có đạo hàm đơn giản hơn, và \(dv\) là phần còn lại của tích phân.
Bài 6: Dùng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần, tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) \(f(x) = x\sin \frac{x}{2}\).
Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = x}\\ {dv = \sin \frac{x}{2}dx} \end{array}} \right.\), suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {du = dx}\\ {v = – 2\cos \frac{x}{2}} \end{array}} \right.\). Do đó, \(\int x \sin \frac{x}{2}dx = – 2x\cos \frac{x}{2} + \int 2 \cos \frac{x}{2}dx = – 2x\cos \frac{x}{2} + 4\sin \frac{x}{2} + C\).
Nhận xét: Việc chọn \(u = x\) giúp đơn giản hóa đạo hàm \(du = dx\).
b) \(f(x) = {x^2}\cos x\).
Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} = u}\\ {dv = \cos xdx} \end{array}} \right.\), suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {du = 2xdx}\\ {v = \sin x} \end{array}} \right.\). Do đó, \(\int {{x^2}} \cos xdx = {x^2}\sin x – 2\int x \sin xdx\). Tiếp tục lấy nguyên hàm từng phần cho \(\int x \sin xdx\), ta được \(\int {{x^2}} \cos xdx = {x^2}\sin x + 2x\cos x – 2\sin x + C\).
Nhận xét: Bài toán này cần áp dụng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần hai lần.
c) \(f(x) = x.{e^x}\).
Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = x}\\ {dv = {e^x}dx} \end{array}} \right.\), suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {du = dx}\\ {v = {e^x}} \end{array}} \right.\). Do đó, \(\int {x{e^x}} dx = x{e^x} – \int {{e^x}} dx = x{e^x} – {e^x} + C\).
Nhận xét: Đây là một ví dụ điển hình về việc sử dụng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.
d) \(f(x) = {x^3}\ln (2x)\).
Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = \ln (2x)}\\ {dv = {x^3}dx} \end{array}} \right.\), suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {du = \frac{1}{x}dx}\\ {v = \frac{{{x^4}}}{4}} \end{array}} \right.\). Do đó, \(\int {{x^3}} \ln (2x)dx = \frac{{{x^4}}}{4}\ln (2x) – \int {\frac{{{x^4}}}{4}} .\frac{{dx}}{x} = \frac{{{x^4}}}{4}\ln (2x) – \frac{{{x^4}}}{{16}} + C\).
Nhận xét: Việc chọn \(u = \ln(2x)\) giúp đơn giản hóa tích phân \(\int v du\).
Các bài tập trong phần "Luyện tập" và "Bài 9" có thể được giải tương tự bằng cách áp dụng linh hoạt hai phương pháp trên.
