giải bài tập sgk giải tích 12 nâng cao: câu hỏi và bài tập ôn tập chương 3

## Giải Chi Tiết Bài Tập Ôn Tập Chương 3 - Giải Tích 12 Nâng Cao Bài viết này cung cấp lời giải chi tiết và phân tích chuyên sâu cho các bài tập trong phần "Câu hỏi và bài tập" và "Bài tập luyện tập" của chương 3 sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao. Mục tiêu là giúp học sinh nắm vững kiến thức về nguyên hàm, tích phân và ứng dụng của chúng trong việc giải quyết các bài toán thực tế. **I. Giải Bài Tập Nguyên Hàm** **Bài 41:** Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) \(y = 2x\left( {1 – {x^{ – 3}}} \right)\) *Lời giải:* \(\int 2x(1 - x^{-3}) dx = \int (2x - 2x^{-2}) dx = x^2 + 2x^{-1} + C = x^2 + \frac{2}{x} + C\) *Phân tích:* Bài toán này yêu cầu sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản của lũy thừa và kết hợp các phép toán cộng, trừ đa thức. b) \(y = 8x – \frac{2}{{{x^{\frac{1}{4}}}}}\) *Lời giải:* \(\int (8x - 2x^{-1/4}) dx = 4x^2 - 2 \cdot \frac{x^{3/4}}{3/4} + C = 4x^2 - \frac{8}{3}x^{3/4} + C\) *Phân tích:* Tương tự như câu a, bài này kiểm tra khả năng áp dụng công thức nguyên hàm của lũy thừa với số mũ phân số. c) \(y = {x^{\frac{1}{2}}}\sin \left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right)\) *Lời giải:* Đặt \(u = x^{3/2} + 1\), suy ra \(du = \frac{3}{2}x^{1/2} dx\), hay \(x^{1/2} dx = \frac{2}{3} du\). Vậy \(\int x^{1/2} \sin(x^{3/2} + 1) dx = \int \sin(u) \cdot \frac{2}{3} du = -\frac{2}{3} \cos(u) + C = -\frac{2}{3} \cos(x^{3/2} + 1) + C\) *Phân tích:* Đây là một ví dụ điển hình của phương pháp đổi biến số. Việc nhận diện được hàm số bên trong và đạo hàm của nó là chìa khóa để giải quyết bài toán. d) \(y = \frac{{\sin (2x + 1)}}{{{{\cos }^2}(2x + 1)}}\) *Lời giải:* Đặt \(u = \cos(2x + 1)\), suy ra \(du = -2\sin(2x + 1) dx\), hay \(\sin(2x + 1) dx = -\frac{1}{2} du\). Vậy \(\int \frac{\sin(2x + 1)}{\cos^2(2x + 1)} dx = \int \frac{-1/2}{u^2} du = \frac{1}{2u} + C = \frac{1}{2\cos(2x + 1)} + C\) *Phân tích:* Bài toán này cũng sử dụng phương pháp đổi biến số, tập trung vào việc biến đổi hàm số để xuất hiện đạo hàm của biến mới. **Bài 42:** Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: (Các bài toán tương tự như Bài 41, áp dụng các kỹ thuật nguyên hàm cơ bản và đổi biến số.) **II. Giải Bài Tập Tích Phân** **Bài 43 - Bài 57:** (Các bài toán này bao gồm tính tích phân xác định, tìm hàm số khi biết đạo hàm, và ứng dụng của tích phân trong việc tính diện tích và thể tích.) (Lời giải chi tiết cho các bài toán này đã được cung cấp trong nội dung gốc. Phần này tập trung vào phân tích chung.) *Phân tích chung:* Các bài toán tích phân yêu cầu nắm vững các tính chất của tích phân, các phương pháp tính tích phân (đổi biến số, tích phân từng phần), và khả năng áp dụng tích phân để giải quyết các bài toán hình học. **III. Bài Tập Trắc Nghiệm Khách Quan** **Bài 58 - Bài 67:** (Các bài tập trắc nghiệm này kiểm tra khả năng hiểu và vận dụng nhanh các kiến thức về tích phân và ứng dụng của chúng.) (Đáp án đã được cung cấp trong nội dung gốc.) *Phân tích chung:* Các bài tập trắc nghiệm thường yêu cầu tính toán nhanh và chính xác, đồng thời đòi hỏi học sinh phải nắm vững các công thức và định lý liên quan. **IV. Nhận Xét Chung** Chương 3 Giải tích 12 nâng cao tập trung vào hai khái niệm quan trọng: nguyên hàm và tích phân. Việc nắm vững các định nghĩa, tính chất, và phương pháp tính toán liên quan là rất quan trọng để giải quyết các bài toán trong chương này. Ngoài ra, việc rèn luyện kỹ năng giải bài tập và áp dụng kiến thức vào các bài toán thực tế cũng là yếu tố then chốt để đạt kết quả tốt.