giải bài tập sgk giải tích 12 cơ bản: nguyên hàm

Hướng dẫn giải chi tiết bài tập Nguyên hàm - Giải tích 12 (Sách giáo khoa cơ bản)

Bài viết này cung cấp lời giải chi tiết và phân tích chuyên sâu cho các bài tập về nguyên hàm trong sách giáo khoa Giải tích 12 cơ bản, bao gồm các bài tập trong phần "Câu hỏi và bài tập" và "Bài tập luyện tập". Mục tiêu là giúp học sinh nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải bài tập và hiểu rõ bản chất của các khái niệm liên quan đến nguyên hàm.

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Bài 1. Xác định hàm số nào là nguyên hàm của hàm số còn lại trong các cặp hàm số sau:

1. \({e^{ – x}}\) và \( – {e^{ – x}}.\)
2. \(\sin 2x\) và \({\sin ^2}x.\)
3. \({\left( {1 – \frac{2}{x}} \right)^2}{e^x}\) và \(\left( {1 – \frac{4}{x}} \right){e^x}.\)

Lời giải:

1. Để kiểm tra xem \(F(x)\) có phải là nguyên hàm của \(f(x)\) hay không, ta cần kiểm tra xem \(F'(x) = f(x)\) hay không.
   • Xét \(F(x) = e^{-x}\), ta có \(F'(x) = -e^{-x}\). Vậy \(e^{-x}\) là nguyên hàm của \(-e^{-x}\).
   • Xét \(F(x) = -e^{-x}\), ta có \(F'(x) = e^{-x}\). Vậy \(-e^{-x}\) là nguyên hàm của \(e^{-x}\).
   Do đó, cả hai hàm số đều là nguyên hàm của nhau.
2. Xét \(F(x) = \sin^2 x\), ta có \(F'(x) = 2\sin x \cos x = \sin 2x\). Vậy \(\sin^2 x\) là nguyên hàm của \(\sin 2x\).
3. Để kiểm tra, ta tính đạo hàm của \(\left( {1 – \frac{4}{x}} \right){e^x}\): \begin{align*} \left[ {\left( {1 – \frac{4}{x}} \right){e^x}} \right]’ &= \frac{4}{{{x^2}}}{e^x} + {e^x}\left( {1 – \frac{4}{x}} \right) \\ &= {e^x}\left( {\frac{4}{{{x^2}}} + 1 – \frac{4}{x}} \right) \\ &= {e^x}{\left( {1 – \frac{2}{x}} \right)^2}. \end{align*} Vậy \(\left( {1 – \frac{4}{x}} \right){e^x}\) là nguyên hàm của \({e^x}{\left( {1 – \frac{2}{x}} \right)^2}\).

Bài 2. Tìm một nguyên hàm của các hàm số sau:

1. \(f(x) = \frac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt[3]{x}}}.\)
2. \(f(x) = \frac{{{2^x} – 1}}{{{e^x}}}.\)
3. \(f(x) = \frac{1}{{{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x}}.\)
4. \(f(x) = \sin 5x.\cos 3x.\)
5. \(f(x) = {\tan ^2}x.\)
6. \(f(x) = {e^{3 – 2x}}.\)
7. \(f(x) = \frac{1}{{(1 + x)(1 – 2x)}}.\)

Lời giải:

1. \(f(x) = \frac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt[3]{x}}} = {x^{\frac{2}{3}}} + {x^{\frac{1}{6}}} + {x^{ – \frac{1}{3}}}\). Nguyên hàm của \(f(x)\) là: \(\frac{3}{5}{x^{\frac{5}{3}}} + \frac{6}{7}{x^{\frac{7}{6}}} + \frac{3}{2}{x^{\frac{2}{3}}} + C\).
2. \(\int \frac{{{2^x} – 1}}{{{e^x}}}dx = \int \left( {{2^x}{e^{-x}} - {e^{-x}}} \right) dx\). Nguyên hàm là \(\frac{{{2^x} + 1 – \ln 2}}{{{e^x}(1 – \ln 2)}} + C\).
3. \(\int \frac{1}{{{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x}}dx = \int \frac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x}}dx = \int \left( {\frac{1}{{{\cos }^2}x} + \frac{1}{{{\sin }^2}x}} \right)dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^2 x} \right) dx = \int \left( {\tan^2 x + \cot^