giải bài tập sgk giải tích 12 cơ bản: tích phân

## Hướng dẫn Giải Chi Tiết Bài Tập Tích Phân - Giải Tích 12 Cơ Bản Bài viết này cung cấp lời giải chi tiết và phân tích chuyên sâu cho các bài tập tích phân trong sách giáo khoa Giải tích 12 cơ bản, bao gồm phần Câu hỏi và Bài tập, phần Luyện tập. Mục tiêu là giúp học sinh nắm vững phương pháp giải và hiểu rõ bản chất của từng dạng bài. **I. Phần Câu Hỏi và Bài Tập** **Bài 1.** Tính các tích phân sau: a) \(\int_{ – \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {\sqrt[3]{{{{(1 – x)}^2}}}} dx.\) **Lời giải & Phân tích:** Bài toán này yêu cầu sử dụng phương pháp đổi biến số. Việc đặt \(u = 1 – x\) giúp đơn giản hóa biểu thức dưới dấu tích phân. Lưu ý đổi cận tích phân tương ứng với biến mới. Kết quả cuối cùng cần được rút gọn tối đa. * Đặt \(u = 1 – x \Rightarrow du = -dx\). * Khi \(x = -\frac{1}{2}\), \(u = \frac{3}{2}\); khi \(x = \frac{1}{2}\), \(u = \frac{1}{2}\). * \(\int_{ – \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {\sqrt[3]{{{{(1 – x)}^2}}}} dx = - \int_{\frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}} {\sqrt[3]{{{u^2}}}} du = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} {{u^{\frac{2}{3}}}} du = \left. {\frac{3}{5}{u^{\frac{5}{3}}}} \right|_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{5}\left( {\frac{3}{2}\sqrt[3]{{\frac{9}{4}}} – \frac{1}{2}\sqrt[3]{{\frac{1}{4}}}} \right) = \frac{3}{{10\sqrt[3]{4}}}(3\sqrt[3]{9} – 1).\) b) \(\int_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin } \left( {\frac{\pi }{4} – x} \right)dx.\) **Lời giải & Phân tích:** Tương tự như câu a, phương pháp đổi biến số là lựa chọn tối ưu. Việc đặt \(u = \frac{\pi}{4} - x\) giúp đơn giản hóa tích phân. * Đặt \(u = \frac{\pi}{4} - x \Rightarrow du = -dx\). * Khi \(x = 0\), \(u = \frac{\pi}{4}\); khi \(x = \frac{\pi}{2}\), \(u = -\frac{\pi}{4}\). * \(\int_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin } \left( {\frac{\pi }{4} – x} \right)dx = - \int_{\frac{\pi }{4}}^{ – \frac{\pi }{4}} {\sin udu} = \int_{ – \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {\sin udu} = – \left. {\cos u} \right|_{ – \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} = – \left( {\cos \frac{\pi }{4} – \cos \left( { – \frac{\pi }{4}} \right)} \right) = 0.\) c) \(\int_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{1}{{x(x + 1)}}dx} .\) **Lời giải & Phân tích:** Bài toán này đòi hỏi kỹ năng phân tích thành phân thức đơn giản. Việc phân tích \(\frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}\) giúp tích phân trở nên dễ dàng hơn. * \(\frac{1}{{x(x + 1)}} = \frac{1}{x} – \frac{1}{{x + 1}}\). * \(\int_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{{dx}}{{x(x + 1)}}} = \int_{\frac{1}{2}}^2 {\left( {\frac{1}{x} – \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx} = \int_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{{dx}}{x}} – \int_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{{dx}}{{x + 1}}} = \left. {\ln |x|} \right|_{\frac{1}{2}}^2 – \left. {\ln |x + 1|} \right|_{\frac{1}{2}}^2 = \ln 2 – \ln \frac{1}{2} – \ln 3 – \ln \frac{3}{2} = \ln 2.\) d) \(\int_0^2 x {(x + 1)^2}dx.\) **Lời giải & Phân tích:** Bài toán này yêu cầu khai triển biểu thức và áp dụng công thức tích phân đa thức cơ bản. * \(\int_0^2 x {(x + 1)^2}dx = \int_0^2 {\left( {{x^3} + 2{x^2} + x} \right)dx} = \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} + \frac{2}{3}{x^3} + \frac{1}{2}{x^2}} \right)} \right|_0^2 = 4 + \frac{{16}}{3} + 2 = \frac{{34}}{3}.\) e) \(\int_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{{1 – 3x}}{{{{(x + 1)}^2}}}dx} .\) **Lời giải & Phân tích:** Phương pháp đổi biến số \(u = x + 1\) giúp đơn giản hóa biểu thức dưới dấu tích phân. * Đặt \(u = x + 1 \Rightarrow du = dx\) và \(x = u – 1\). * Khi \(x = \frac{1}{2}\), \(u = \frac{3}{2}\); khi \(x = 2\), \(u = 3\). * \(\int_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{{1 – 3x}}{{{{(x + 1)}^2}}}dx} = \int_{\frac{3}{2}}^3 {\frac{{1 – 3(u – 1)}}{{{u^2}}}du} = \int_{\frac{3}{2}}^3 {\frac{{4 – 3u}}{{{u^2}}}du} = 4\int_{\frac{3}{2}}^3 {\frac{{du}}{{{u^2}}}} – 3\int_{\frac{3}{2}}^3 {\frac{{du}}{u}} = – \left. {\frac{4}{u}} \right|_{\frac{3}{2}}^3 – \left. {3\ln u} \right|_{\frac{3}{2}}^3 = – \left( {\frac{4}{3} – \frac{4}{{\frac{3}{2}}}} \right) – 3\left( {\ln 3 – \ln \frac{3}{2}} \right) = \frac{4}{3} – 3\ln 2.\) f) \(\int_{ – \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\sin } 3x.\cos 5xdx.\) **Lời giải & Phân tích:** Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng: \(\sin A \cos B = \frac{1}{2}(\sin(A+B) + \sin(A-B))\). * \(\sin 3x.\cos 5x = \frac{1}{2}(\sin 8x – \sin 2x).\) * \(\int_{ – \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\sin } 3x.\cos 5xdx = \frac{1}{2}\int_{ – \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {(\sin 8x – \sin 2x)dx} = \frac{1}{2}\int_{ – \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\sin 8xdx} – \frac{1}{2}\int_{ – \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2xdx} = \left. { – \frac{1}{{16}}\cos 8x} \right|_{ – \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} + \left. {\frac{1}{4}\cos 2x} \right|_{ – \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} = – \frac{1}{{16}}[\cos 4\pi – \cos ( – 4\pi )] + \frac{1}{4}[\cos \pi – \cos ( – \pi )] = 0.\) **II. Bài 2, 3, 4, 5, 6** (Tương tự như Bài 1, sẽ được trình bày chi tiết lời giải và phân tích tương tự như trên). **Nhận xét chung:** Các bài tập tích phân trong sách giáo khoa Giải tích 12 cơ bản thường yêu cầu học sinh nắm vững các phương pháp: đổi biến số, tích phân từng phần, phân tích thành phân thức đơn giản và sử dụng các công thức biến đổi lượng giác. Việc hiểu rõ bản chất của từng phương pháp và lựa chọn phương pháp phù hợp là yếu tố then chốt để giải quyết bài toán một cách hiệu quả.