giải bài tập sgk giải tích 12 cơ bản: ứng dụng của tích phân trong hình học

## Hướng dẫn Giải Bài Tập Ứng Dụng Tích Phân trong Hình Học - Giải Tích 12 Cơ Bản Bài viết này cung cấp lời giải chi tiết và phân tích chuyên sâu cho các bài tập trong phần "Câu hỏi và Bài tập" và "Luyện tập" của sách giáo khoa Giải tích 12 cơ bản, tập trung vào ứng dụng của tích phân để tính diện tích và thể tích. **I. Tổng Quan về Ứng Dụng Tích Phân trong Hình Học** Tích phân đóng vai trò then chốt trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến diện tích hình phẳng và thể tích khối tròn xoay. Về cơ bản, chúng ta sử dụng tích phân xác định để tính tổng vô hạn các diện tích hoặc thể tích nhỏ, từ đó tìm ra giá trị tổng quát. Việc hiểu rõ nguyên lý này và nắm vững các công thức tính toán là yếu tố quan trọng để giải quyết hiệu quả các bài toán. **II. Giải Chi Tiết Các Bài Tập** **Bài 1: Tính Diện Tích Hình Phẳng** * **a) \(y = {x^2}\), \(y = x + 2\)** * **Phân tích:** Bài toán yêu cầu tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi một parabol và một đường thẳng. Bước đầu tiên là tìm giao điểm của hai đường cong để xác định giới hạn tích phân. * **Lời giải:** * Tìm giao điểm: \({x^2} = x + 2 \Leftrightarrow {x^2} – x – 2 = 0 \Leftrightarrow x = – 1, x = 2\). * Diện tích: \(S = \int_{ – 1}^2 {\left| {{x^2} – (x + 2)} \right|dx} = \int_{ – 1}^2 {\left| {{x^2} – x – 2} \right|dx}\). Vì \({x^2} – x – 2 \le 0\) trên đoạn \([–1, 2]\), ta có: \(S = – \int_{ – 1}^2 {\left( {{x^2} – x – 2} \right)dx} = \left. {\left( { – \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} + 2x} \right)} \right|_{ – 1}^2 = \frac{9}{2}\) (đvdt). * **Nhận xét:** Việc xác định dấu của biểu thức dưới dấu tích phân là rất quan trọng để đảm bảo kết quả diện tích luôn dương. * **b) \(y = |\ln x|\), \(y = 1\)** * **Phân tích:** Bài toán này liên quan đến hàm giá trị tuyệt đối và hàm logarit. Cần chia khoảng tích phân để xử lý hàm giá trị tuyệt đối. * **Lời giải:** * Tìm giao điểm: \(|\ln x| = 1 \Leftrightarrow x = e, x = \frac{1}{e}\). * Diện tích: \(S = \int_{\frac{1}{e}}^e {\left| {\left| {\ln x} \right| – 1} \right|dx} = \int_{\frac{1}{e}}^1 {(1 – \ln x)dx} + \int_1^e {(\ln x + 1)dx} = e – \frac{1}{e} + 2\) (đvdt). * **Nhận xét:** Việc phân tích hàm giá trị tuyệt đối và chia khoảng tích phân là kỹ năng cần thiết khi giải các bài toán tương tự. * **c) \(y = {(x – 6)^2}\), \(y = 6x – {x^2}\)** * **Phân tích:** Bài toán yêu cầu tính diện tích giữa một parabol và một đường cong bậc hai. * **Lời giải:** * Tìm giao điểm: \({(x – 6)^2} = 6x – {x^2} \Leftrightarrow x = 3, x = 6\). * Diện tích: \(S = \int_3^6 {\left| {{{(x – 6)}^2} – \left( {6x – {x^2}} \right)} \right|dx} = 9\) (đvdt). * **Nhận xét:** Việc kiểm tra dấu của biểu thức dưới dấu tích phân để đảm bảo tính đúng đắn của kết quả. **Bài 2: Tính Diện Tích Hình Phẳng (Tiếp Tuyến)** * **Phân tích:** Bài toán kết hợp kiến thức về tiếp tuyến của hàm số và tích phân để tính diện tích. * **Lời giải:** Xác định phương trình tiếp tuyến, tìm giao điểm của tiếp tuyến với trục Oy, và thiết lập tích phân để tính diện tích. Kết quả: \(S = \frac{8}{3}\) (đvdt). **Bài 3: Tỉ Số Diện Tích Hình Tròn và Parabol** * **Phân tích:** Bài toán yêu cầu tính tỉ số diện tích giữa hai phần của hình tròn bị chia cắt bởi một parabol. * **Lời giải:** Sử dụng tích phân để tính diện tích từng phần, sau đó tính tỉ số. Kết quả: \(\frac{{{S_2}}}{{{S_1}}} = \frac{{9\pi – 2}}{{3\pi + 2}}\). **Bài 4: Tính Thể Tích Khối Tròn Xoay** * **Phân tích:** Bài toán áp dụng phương pháp đĩa để tính thể tích khối tròn xoay. * **Lời giải:** Sử dụng công thức \(V = \pi \int_a^b {f(x)^2 dx}\) để tính thể tích. **Bài 5: Thể Tích Khối Tròn Xoay (Tam Giác)** * **Phân tích:** Bài toán yêu cầu tìm thể tích lớn nhất của khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác vuông quanh trục Ox. * **Lời giải:** Thiết lập hàm thể tích theo góc \(\alpha\), tìm cực đại của hàm số. **III. Kết Luận** Việc nắm vững các khái niệm cơ bản về tích phân, kỹ năng tìm nguyên hàm, và khả năng phân tích bài toán là yếu tố then chốt để giải quyết thành công các bài tập ứng dụng tích phân trong hình học. Bài viết này hy vọng đã cung cấp một hướng dẫn chi tiết và hữu ích cho việc ôn tập và luyện tập môn Giải tích 12.