giải bài tập sgk giải tích 12 cơ bản: phương trình bậc hai với hệ số thực

## Giải chi tiết các bài tập về Phương trình bậc hai với hệ số thực (Giải tích 12) Bài viết này sẽ trình bày chi tiết lời giải các bài tập trong phần "Câu hỏi và bài tập" và "Bài tập luyện tập" của sách giáo khoa Giải tích 12 cơ bản, tập trung vào phương trình bậc hai với hệ số thực và các ứng dụng liên quan đến số phức. **Bài 1. Tìm các căn bậc hai phức của các số sau:** \(-7\); \(-8\); \(-12\); \(-20\); \(-121.\) **Lời giải:** Để tìm căn bậc hai phức của một số âm, ta sử dụng định nghĩa \( \sqrt{-a} = i\sqrt{a} \) với \(a > 0\). * Căn bậc hai phức của \(-7\) là \( \pm i\sqrt 7 .\) * Căn bậc hai phức của \(-8\) là \( \pm i\sqrt 8 = \pm 2i\sqrt 2 .\) * Căn bậc hai phức của \(-12\) là \( \pm i\sqrt {12} = \pm 2i\sqrt 3 .\) * Căn bậc hai phức của \(-20\) là \( \pm i\sqrt {20} = \pm 2i\sqrt 5 .\) * Căn bậc hai phức của \(-121\) là \( \pm i\sqrt {121} = \pm 11i.\) **Nhận xét:** Bài tập này giúp củng cố kiến thức về định nghĩa và cách tính căn bậc hai của số âm trong tập số phức. **Bài 2. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:** a) \( – 3{z^2} + 2z – 1 = 0.\) b) \(7{z^2} + 3z + 2 = 0.\) c) \(5{z^2} – 7z + 11 = 0.\) **Lời giải:** Để giải phương trình bậc hai với hệ số thực trên tập số phức, ta sử dụng công thức nghiệm tổng quát: \(z = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\), trong đó \(\Delta = b^2 - 4ac\). a) \( – 3{z^2} + 2z – 1 = 0 \Leftrightarrow 3{z^2} – 2z + 1 = 0.\) \(\Delta ‘ = {( – 1)^2} – 3.1 = – 2 < 0.\) Vậy phương trình có hai nghiệm phức là: \({z_{1,2}} = \frac{{1 \pm i\sqrt 2 }}{3}.\) b) \(7{z^2} + 3z + 2 = 0.\) \(\Delta = 3^2 – 4.7.2 = 9 – 56 = -47 < 0.\) Vậy phương trình có hai nghiệm phức là: \({z_{1,2}} = \frac{{ – 3 \pm i\sqrt {47} }}{{14}}.\) c) \(5{z^2} – 7z + 11 = 0.\) \(\Delta = (-7)^2 – 4.5.11 = 49 – 220 = -171 < 0.\) Vậy phương trình có hai nghiệm phức là: \({z_{1,2}} = \frac{{7 \pm i\sqrt {171} }}{{10}}.\) **Nhận xét:** Các phương trình này đều có \(\Delta < 0\), do đó nghiệm là các số phức. Việc tính toán cần cẩn thận để tránh sai sót. **Bài 3. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:** a) \({z^4} + {z^2} – 6 = 0.\) b) \({z^4} + 7{z^2} + 10 = 0.\) **Lời giải:** Đây là phương trình bậc bốn, ta giải bằng cách đặt ẩn phụ. a) \({z^4} + {z^2} – 6 = 0.\) Đặt \({z^2} = t\), ta thu được phương trình: \({t^2} + t – 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {t = 2} \\ {t = – 3} \end{array}} \right..\) Với \(t = 2\), theo cách đặt ta có: \({z^2} = 2 \Leftrightarrow z = \pm \sqrt 2 .\) Với \(t = -3\), theo cách đặt ta có: \({z^2} = – 3 \Leftrightarrow z = \pm i\sqrt 3 .\) Vậy phương trình có bốn nghiệm là: \({z_1} = \sqrt 2 \), \({z_2} = – \sqrt 2 \), \({z_3} = i\sqrt 3 \) và \({z_4} = – i\sqrt 3 .\) b) \({z^4} + 7{z^2} + 10 = 0.\) Đặt \({z^2} = t\), ta thu được phương trình: \({t^2} + 7t + 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {t = – 5} \\ {t = – 2} \end{array}} \right..\) Với \(t = -5\), theo cách đặt ta có: \({z^2} = – 5 \Leftrightarrow z = \pm i\sqrt 5 .\) Với \(t = -2\), theo cách đặt ta có: \({z^2} = – 2 \Leftrightarrow z = \pm i\sqrt 2 .\) Vậy phương trình có bốn nghiệm là: \({z_1} = i\sqrt 5 \), \({z_2} = – i\sqrt 5 \), \({z_3} = i\sqrt 2 \), \({z_4} = – i\sqrt 2 .\) **Nhận xét:** Phương pháp đặt ẩn phụ giúp đơn giản hóa bài toán, đưa về phương trình bậc hai quen thuộc. **Bài 4. Cho \(a,b,c \in R\), \(a \ne 0\), \({z_1}\), \({z_2}\) là hai nghiệm (thực hoặc phức) của phương trình \(a{z^2} + bz + c = 0.\) Hãy tính \({z_1} + {z_2}\) và \({z_1}{z_2}\) theo các hệ số \(a\), \(b\), \(c.\)** **Lời giải:** Xét phương trình bậc hai: \(a{z^2} + bz + c = 0\), \(a \ne 0\) và \(a,b,c \in R.\) Ta có: \(\Delta = {b^2} – 4ac.\) * Nếu \(\Delta \ge 0\), phương trình có hai nghiệm thực \({z_1}\), \({z_2}.\) Theo định lí Vi-ét ta có: \({z_1} + {z_2} = – \frac{b}{a}\) và \({z_1}{z_2} = \frac{c}{a}.\) * Nếu \(\Delta < 0\), phương trình có hai nghiệm phức: \({z_1} = \frac{{ – b – i\sqrt {|\Delta |} }}{{2a}}\), \({z_2} = \frac{{ – b + i\sqrt {|\Delta |} }}{{2a}}.\) Suy ra: \({z_1} + {z_2}\) \( = \frac{{ – b – i\sqrt {|\Delta |} – b + i\sqrt {|\Delta |} }}{{2a}}\) \( = – \frac{b}{a}.\) \({z_1}{z_2}\) \( = \frac{{( – b – i\sqrt {|\Delta |} )( – b + i\sqrt {|\Delta |} )}}{{4{a^2}}}\) \( = \frac{{b^2 + |\Delta |}}{{4{a^2}}} = \frac{{b^2 + 4ac}}{{4{a^2}}} = \frac{c}{a}.\) Tóm lại: Cho \(a,b,c \in R\), \(a \ne 0\), \({z_1}\), \({z_2}\) là hai nghiệm (thực hoặc phức) của phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0.\) Ta luôn luôn có: \({z_1} + {z_2} = – \frac{b}{a}\) và \({z_1}{z_2} = \frac{c}{a}.\) **Nhận xét:** Định lý Vi-ét vẫn đúng cho cả trường hợp nghiệm phức. **Bài 5. Cho \(z = a + bi\) là một số phức. Hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận \(z\) và \(\overline z \) làm nghiệm.** **Lời giải:** Giả sử \(z = a + bi\) và \(\bar z = a – bi\) là hai nghiệm của phương trình hệ số thực: \(A{x^2} + Bx + C = 0\) \((A \ne 0) \Leftrightarrow {x^2} – \frac{B}{A}x + \frac{C}{A} = 0.\) Theo bài 4 ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {z + \overline z = 2a = – \frac{B}{A}} \\ {z\overline z = {a^2} + {b^2} = \frac{C}{A}} \end{array}} \right..\) Vậy phương trình cần tìm là: \({x^2} – 2ax + {a^2} + {b^2} = 0.\) **Nhận xét:** Bài tập này liên hệ giữa nghiệm phức và hệ số của phương trình bậc hai.