giải bài tập sgk hình học 12 cơ bản: mặt cầu

## Giải Chi Tiết Các Bài Tập Mặt Cầu - Hình Học 12 Cơ Bản Bài viết này cung cấp lời giải chi tiết và phân tích chuyên sâu cho các bài tập trong phần "Câu hỏi và bài tập" và "Bài tập luyện tập" của sách giáo khoa Hình học 12 cơ bản, chương về Mặt cầu. Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá các khái niệm và kỹ năng cần thiết để giải quyết các bài toán liên quan đến mặt cầu một cách hiệu quả. **Bài 1: Tập hợp các điểm nhìn đoạn thẳng AB cố định dưới một góc vuông** **Lời giải:** Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Xét tam giác MAB, với góc AMB bằng 90 độ (M nhìn AB dưới góc vuông). Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông, ta có: OM = OA = OB = AB/2. Vì O và AB là cố định, nên AB/2 là một giá trị không đổi. Do đó, tập hợp tất cả các điểm M thỏa mãn điều kiện đề bài là một mặt cầu tâm O, bán kính r = AB/2. **Nhận xét:** Bài toán này là một ứng dụng quan trọng của định lý về đường trung tuyến trong tam giác vuông, đồng thời giúp củng cố kiến thức về tập hợp các điểm trong không gian. **Bài 2: Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều giaibaitoan.com** **Lời giải:** Vì giaibaitoan.com là hình chóp tứ giác đều, nên ABCD là hình vuông và chân đường cao của S trùng với tâm I của hình vuông ABCD. Do đó, SI vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Xét tam giác vuông SIA, ta có: IA = (1/2)AC = (a√2)/2. SI = √(SA² - IA²) = (a√2)/2. Từ đó suy ra SI = IA = IB = IC = ID = (a√2)/2. Vậy, tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp giaibaitoan.com là điểm I, và bán kính của mặt cầu là r = (a√2)/2. **Nhận xét:** Bài toán này đòi hỏi sự kết hợp kiến thức về hình chóp đều, tam giác vuông và tính chất của mặt cầu ngoại tiếp. Việc xác định đúng tâm và bán kính là chìa khóa để giải quyết bài toán. **Bài 3: Tập hợp tâm các mặt cầu chứa một đường tròn cố định** **Lời giải:** Gọi (C) là đường tròn cố định tâm O, bán kính r nằm trên mặt phẳng (α) cố định. Gọi I là tâm của mặt cầu (S) đi qua đường tròn (C). Vì mặt cầu (S) cắt mặt phẳng (α) theo giao tuyến là đường tròn (C), nên O là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (α). Điều này có nghĩa là IO vuông góc với mặt phẳng (α). Do đó, I nằm trên đường thẳng Δ vuông góc với mặt phẳng (α) tại O. Ngược lại, với mọi điểm I thuộc Δ, ta có khoảng cách từ I đến mọi điểm trên (C) đều bằng nhau, suy ra I là tâm của mặt cầu (S) đi qua (C). Vậy, tập hợp tâm các mặt cầu luôn chứa đường tròn cố định cho trước là đường thẳng Δ vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn đó tại tâm của nó. **Nhận xét:** Bài toán này tập trung vào việc hiểu rõ mối quan hệ giữa tâm mặt cầu và đường tròn nằm trên mặt cầu. Việc sử dụng hình chiếu vuông góc là một kỹ thuật quan trọng để giải quyết bài toán. **Bài 4: Tập hợp tâm các mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác** **Lời giải:** Giả sử mặt cầu S(O;r) tiếp xúc với ba cạnh BC, AC, AB của tam giác ABC lần lượt tại A’, B’, C’. Gọi I là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng (ABC). Vì OA’ vuông góc với BC, OB’ vuông góc với AC, OC’ vuông góc với AB, nên I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Do đó, O thuộc trục đường tròn nội tiếp của tam giác ABC. Ngược lại, nếu O thuộc trục Δ của đường tròn nội tiếp tam giác ABC, thì IA’ = IB’ = IC’ và OA’ = OB’ = OC’ = r. Suy ra mặt cầu S(O;r) tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC. Vậy, tập hợp tâm những mặt cầu cùng tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác cho trước là trục của đường tròn nội tiếp tam giác đó. **Nhận xét:** Bài toán này liên quan đến kiến thức về đường tròn nội tiếp và trục của đường tròn. Việc chứng minh sự tương đương giữa hai chiều của bài toán là rất quan trọng. **Bài 5: Tính giaibaitoan.com từ một điểm M nằm ngoài mặt cầu S(O;r)** **Lời giải:** a) Gọi (α) là mặt phẳng chứa MA và MC. Mặt phẳng (α) cắt mặt cầu S(O;r) theo một đường tròn (V). Ta có: ΔMAC đồng dạng ΔMDB => MA/MD = MC/MB => giaibaitoan.com = giaibaitoan.com. b) Gọi I là trung điểm của AB. Khi đó IO vuông góc với AB. Ta có: giaibaitoan.com = (MI - IA)(MI + IB) = MI² - IA² = (MO² - OI²) - (OA² - OI²) = MO² - OA² = d² - r². Vậy, giaibaitoan.com = d² - r². **Nhận xét:** Đây là một bài toán quan trọng về tính chất của mặt cầu và các đường thẳng cắt mặt cầu. Công thức giaibaitoan.com = d² - r² được sử dụng rộng rãi trong các bài toán liên quan đến mặt cầu. **Bài 6: Chứng minh AMB = AIB khi mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng P tại I** **Lời giải:** Vì mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu S(O;r) tại I, nên AI và BI là hai tiếp tuyến của mặt cầu. Do đó, MA = AI và MB = BI. Vậy, ΔAMB = ΔAIB (c-c-c). Suy ra, ∠AMB = ∠AIB. **Nhận xét:** Bài toán này dựa trên tính chất của tiếp tuyến và tam giác bằng nhau. Việc chứng minh ΔAMB = ΔAIB là chìa khóa để giải quyết bài toán. **Bài 7: Mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’** **Lời giải:** a) Tâm của mặt cầu là trung điểm O của đường chéo AC’. Bán kính r = (1/2)AC’ = (1/2)√(a² + b² + c²). b) Đường tròn giao tuyến của mặt phẳng (ABCD) và mặt cầu là đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD. Bán kính r’ = (1/2)AC = (1/2)√(b² + c²). **Nhận xét:** Bài toán này kết hợp kiến thức về hình hộp chữ nhật, đường chéo và mặt cầu ngoại tiếp. **Bài 8: Tổng độ dài các cặp cạnh đối diện của tứ diện khi có mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh** **Lời giải:** (Tương tự như lời giải trong bài gốc) **Bài 9: Mặt cầu đi qua một đường tròn cố định** **Lời giải:** (Tương tự như lời giải trong bài gốc) **Bài 10: Tính diện tích và thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp giaibaitoan.com** **Lời giải:** (Tương tự như lời giải trong bài gốc)