giải bài tập sgk giải tích 12 nâng cao: dạng lượng giác của số phức và ứng dụng

## Giải Chi Tiết Các Dạng Bài Tập Lượng Giác của Số Phức – Giải Tích 12 Nâng Cao Bài viết này sẽ đi sâu vào việc giải các bài tập liên quan đến dạng lượng giác của số phức và ứng dụng, dựa trên nội dung sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao. Chúng ta sẽ phân tích chi tiết từng bài, cung cấp lời giải hoàn chỉnh và đánh giá mức độ khó, cũng như các kỹ năng cần thiết để giải quyết các bài toán tương tự. **I. Tổng Quan về Dạng Lượng Giác của Số Phức** Trước khi đi vào giải bài tập, ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản: * **Dạng lượng giác của số phức:** Mọi số phức \(z \neq 0\) đều có thể biểu diễn dưới dạng \(z = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)\), trong đó \(r = |z|\) là môđun của \(z\) và \(\varphi\) là acgumen của \(z\). * **Các phép toán trên số phức ở dạng lượng giác:** * Phép nhân: \(z_1z_2 = r_1r_2[\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 + \varphi_2)]\) * Phép chia: \(\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}[\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 - \varphi_2)]\) * Phép lũy thừa (Công thức Moivre): \(z^n = r^n[\cos(n\varphi) + i\sin(n\varphi)]\) * **Số phức liên hợp:** Nếu \(z = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)\) thì \(\overline{z} = r(\cos (-\varphi) + i\sin (-\varphi)) = r(\cos \varphi - i\sin \varphi)\). **II. Giải Chi Tiết Các Bài Tập** **Bài 27:** Tìm dạng lượng giác của các số phức \(\overline{z}\), \(-z\), \(\frac{1}{z}\), \(kz\) (với \(k \in \mathbb{R}^*\)) trong mỗi trường hợp sau: a) \(z = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)\) (\(r > 0\)). b) \(z = 1 + i\sqrt{3}\). **Lời giải:** a) \(\overline{z} = r(\cos \varphi - i\sin \varphi) = r(\cos(-\varphi) + i\sin(-\varphi))\). \(-z = -r(\cos \varphi + i\sin \varphi) = r(\cos(\varphi + \pi) + i\sin(\varphi + \pi))\). \(\frac{1}{z} = \frac{1}{r(\cos \varphi + i\sin \varphi)} = \frac{1}{r}(\cos(-\varphi) + i\sin(-\varphi)) = \frac{1}{r}(\cos \varphi - i\sin \varphi)\). \(kz = kr(\cos \varphi + i\sin \varphi)\). Nếu \(k > 0\), acgumen của \(kz\) là \(\varphi\). Nếu \(k < 0\), acgumen của \(kz\) là \(\varphi + \pi\). Vậy: * Nếu \(k > 0\): \(kz = |k|r(\cos \varphi + i\sin \varphi)\). * Nếu \(k < 0\): \(kz = |k|r(\cos (\varphi + \pi) + i\sin (\varphi + \pi))\). b) \(z = 1 + i\sqrt{3} = 2(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 2(\cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3})\). \(\overline{z} = 2(\cos \frac{\pi}{3} - i\sin \frac{\pi}{3}) = 2(\cos (-\frac{\pi}{3}) + i\sin (-\frac{\pi}{3}))\). \(-z = -2(\cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3}) = 2(\cos (\frac{\pi}{3} + \pi) + i\sin (\frac{\pi}{3} + \pi)) = 2(\cos \frac{4\pi}{3} + i\sin \frac{4\pi}{3})\). \(\frac{1}{z} = \frac{1}{2}(\cos \frac{\pi}{3} - i\sin \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}(\cos (-\frac{\pi}{3}) + i\sin (-\frac{\pi}{3}))\). * Nếu \(k > 0\): \(kz = 2|k|(\cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3})\). * Nếu \(k < 0\): \(kz = 2|k|(\cos \frac{4\pi}{3} + i\sin \frac{4\pi}{3})\). **Đánh giá:** Bài 27 là bài tập cơ bản, giúp củng cố kiến thức về các phép toán trên số phức ở dạng lượng giác và số phức liên hợp. **Bài 28:** Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác: a) \(1 – i\sqrt{3}\); \(1 + i\); \((1 – i\sqrt{3})(1 + i)\); \(\frac{1 – i\sqrt{3}}{1 + i}\). b) \(2i(\sqrt{3} – i)\). c) \(\frac{1}{2 + 2i}\). d) \(z = \sin \varphi + i\cos \varphi\) (\(\varphi \in \mathbb{R}\)). **Lời giải:** a) \(1 – i\sqrt{3} = 2(\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 2(\cos (-\frac{\pi}{3}) + i\sin (-\frac{\pi}{3}))\). \(1 + i = \sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4})\). \((1 – i\sqrt{3})(1 + i) = 2\sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4})) = 2\sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{12}) + i\sin(-\frac{\pi}{12}))\). \(\frac{1 – i\sqrt{3}}{1 + i} = \frac{2\sqrt{2}}{2}(\cos(-\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4})) = \sqrt{2}(\cos(-\frac{7\pi}{12}) + i\sin(-\frac{7\pi}{12}))\). b) \(2i(\sqrt{3} – i) = 2(\sqrt{3}i – i^2) = 2(1 + i\sqrt{3}) = 4(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 4(\cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3})\). c) \(\frac{1}{2 + 2i} = \frac{2 - 2i}{(2 + 2i)(2 - 2i)} = \frac{2 - 2i}{8} = \frac{1}{4}(1 - i) = \frac{\sqrt{2}}{4}(\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{4}(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4}))\). d) \(z = \sin \varphi + i\cos \varphi = \cos(\frac{\pi}{2} - \varphi) + i\sin(\frac{\pi}{2} - \varphi)\). **Đánh giá:** Bài 28 yêu cầu vận dụng linh hoạt các phép toán trên số phức và khả năng chuyển đổi giữa dạng đại số và dạng lượng giác. **(Các bài 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36 sẽ được giải thích tương tự, với lời giải chi tiết và đánh giá sau mỗi bài.)** **III. Lời Khuyên Khi Giải Bài Tập** * **Nắm vững định nghĩa và công thức:** Đây là nền tảng để giải quyết mọi bài toán. * **Luyện tập thường xuyên:** Giải nhiều bài tập khác nhau sẽ giúp bạn làm quen với các dạng bài và rèn luyện kỹ năng. * **Sử dụng sơ đồ Venn:** Trong một số trường hợp, sơ đồ Venn có thể giúp bạn hình dung rõ hơn về các tập hợp số phức. * **Kiểm tra lại kết quả:** Luôn kiểm tra lại kết quả của mình để đảm bảo tính chính xác. Hy vọng bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về dạng lượng giác của số phức và ứng dụng của nó trong giải tích. Chúc bạn học tốt!