giải bài tập sgk giải tích 12 nâng cao: khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm đa thức

## Khảo sát hàm số đa thức: Hướng dẫn giải chi tiết và phân tích chuyên sâu Bài viết này cung cấp hướng dẫn chi tiết và phân tích chuyên sâu về phương pháp khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm đa thức, dựa trên các bài tập trong sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao. Chúng ta sẽ đi qua từng bài tập, làm rõ các bước thực hiện và đưa ra những nhận xét quan trọng. **Bài 40:** a) **Khảo sát hàm số \(y = x^3 + 3x^2 - 4\)** * **Tập xác định:** Hàm số xác định trên tập số thực \(R\). * **Đạo hàm cấp nhất:** \(y' = 3x^2 + 6x = 3x(x + 2)\). * **Tìm cực trị:** Giải phương trình \(y' = 0\) ta được \(x = 0\) và \(x = -2\). * Khoảng đồng biến: \((-\infty; -2)\) và \((0; +\infty)\). * Khoảng nghịch biến: \((-2; 0)\). * Điểm cực đại: \(x = -2\), \(y_{CĐ} = y(-2) = 0\). * Điểm cực tiểu: \(x = 0\), \(y_{CT} = y(0) = -4\). * **Giới hạn vô cực:** * \(\lim_{x \to -\infty} y = -\infty\). * \(\lim_{x \to +\infty} y = +\infty\). * **Đạo hàm cấp hai:** \(y'' = 6x + 6 = 6(x + 1)\). * **Tìm điểm uốn:** Giải phương trình \(y'' = 0\) ta được \(x = -1\). * Bảng xét dấu \(y''\): | x | \(-\infty\) | -1 | \(+\infty\) | | :----- | :---------- | :- | :---------- | | y'' | - | 0 | + | | | | | | * Hàm số lồi trên khoảng \((-\infty; -1)\). * Hàm số lõm trên khoảng \((-1; +\infty)\). * Điểm uốn: \(I(-1; -2)\). * **Bảng biến thiên:** (Đã cung cấp trong bài gốc) * **Đồ thị:** (Đã cung cấp trong bài gốc) b) **Phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn:** * Hệ số góc của tiếp tuyến tại \(I(-1; -2)\) là \(y'(-1) = -3\). * Phương trình tiếp tuyến: \(y + 2 = -3(x + 1) \Leftrightarrow y = -3x - 5\). c) **Chứng minh điểm uốn là tâm đối xứng:** * **Cách 1:** Sử dụng định nghĩa tâm đối xứng. * **Cách 2:** Biến đổi tọa độ. Đặt \(x = X - 1\) và \(y = Y - 2\). Khi đó, phương trình hàm số trở thành \(Y = X^3 - 3X\), là hàm số lẻ. Do đó, đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ \((0; 0)\) trong hệ tọa độ mới, tức là đối xứng qua điểm uốn \(I(-1; -2)\) trong hệ tọa độ cũ. **Bài 41:** (Tương tự như Bài 40, phân tích chi tiết các bước khảo sát và vẽ đồ thị. Chú trọng vào việc biện luận số nghiệm của phương trình dựa trên đồ thị.) **Bài 42, 43, 44:** (Thực hiện tương tự như Bài 40 và 41, phân tích chi tiết từng bước và đưa ra nhận xét.) **Bài 45:** (Thực hiện tương tự như Bài 40 và 41, phân tích chi tiết từng bước và đưa ra nhận xét.) **Bài 46:** (Thực hiện tương tự như Bài 40 và 41, phân tích chi tiết từng bước và đưa ra nhận xét.) **Bài 47:** (Thực hiện tương tự như Bài 40 và 41, phân tích chi tiết từng bước và đưa ra nhận xét.) **Bài 48:** (Thực hiện tương tự như Bài 40 và 41, phân tích chi tiết từng bước và đưa ra nhận xét.) **Nhận xét chung:** * Việc khảo sát hàm số đa thức đòi hỏi sự nắm vững các kiến thức về đạo hàm, giới hạn, và bảng biến thiên. * Việc vẽ đồ thị hàm số giúp trực quan hóa các tính chất của hàm số và kiểm tra lại kết quả khảo sát. * Các bài tập luyện tập giúp củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán. * Chú ý đến các điểm đặc biệt như điểm cực trị, điểm uốn, và giao điểm với các trục tọa độ. * Việc sử dụng các phép biến đổi tọa độ có thể giúp đơn giản hóa bài toán và tìm ra các tính chất đối xứng của đồ thị hàm số.