giải bài tập sgk giải tích 12 nâng cao: một số bài toán thường gặp về đồ thị

## Giải Chi Tiết Các Bài Toán Đồ Thị Giải Tích 12 Nâng Cao Bài viết này sẽ đi sâu vào phân tích và giải chi tiết các bài tập về đồ thị trong sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao, tập trung vào các dạng bài thường gặp và phương pháp tiếp cận hiệu quả. **Bài 57: Khảo sát hàm số và quan hệ giữa đồ thị** a) **Khảo sát hàm số \(f(x) = 2x^3 + 3x^2 + 1\)** * **Tập xác định:** \(D = \mathbb{R}\). * **Sự biến thiên:** * Đạo hàm bậc nhất: \(f'(x) = 6x^2 + 6x\). * Tìm cực trị: \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow 6x^2 + 6x = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = -1\). * Bảng biến thiên: * Khoảng đồng biến: \((-\infty, -1)\) và \((0, +\infty)\). * Khoảng nghịch biến: \((-1, 0)\). * Cực đại: \(f(-1) = 2\). * Cực tiểu: \(f(0) = 1\). * Giới hạn: * \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\). * \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\). * Điểm uốn, tính lồi lõm: * Đạo hàm bậc hai: \(f''(x) = 12x + 6\). * \(f''(x) = 0 \Leftrightarrow x = -\frac{1}{2}\). * Điểm uốn: \((-\frac{1}{2}, \frac{3}{2})\). * Khoảng lồi: \((-\infty, -\frac{1}{2})\). * Khoảng lõm: \((-\frac{1}{2}, +\infty)\). b) **Tìm giao điểm của \((C)\) và \((P)\): \(g(x) = 2x^2 + 1\)** * Giải phương trình: \(f(x) = g(x) \Leftrightarrow 2x^3 + 3x^2 + 1 = 2x^2 + 1 \Leftrightarrow 2x^3 + x^2 = 0 \Leftrightarrow x^2(2x + 1) = 0\). * Nghiệm: \(x = 0\) hoặc \(x = -\frac{1}{2}\). * Giao điểm: \(A(0, 1)\) và \(B(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2})\). c) **Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm** * Tại \(A(0, 1)\): * Hệ số góc \(f'(0) = 0\). * Phương trình tiếp tuyến: \(y = 1\). * Tại \(B(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2})\): * Hệ số góc \(f'(-\frac{1}{2}) = 6(-\frac{1}{2})^2 + 6(-\frac{1}{2}) = -\frac{3}{2}\). * Phương trình tiếp tuyến: \(y - \frac{3}{2} = -\frac{3}{2}(x + \frac{1}{2}) \Leftrightarrow y = -\frac{3}{2}x + \frac{3}{4}\). d) **Xác định khoảng \((C)\) nằm trên/dưới \((P)\)** * \((C)\) nằm trên \((P)\) khi \(f(x) > g(x) \Leftrightarrow 2x^3 + x^2 > 0 \Leftrightarrow x^2(2x + 1) > 0 \Leftrightarrow x > -\frac{1}{2}\) và \(x \neq 0\). Vậy khoảng \((-\frac{1}{2}, 0) \cup (0, +\infty)\). * \((C)\) nằm dưới \((P)\) khi \(f(x) < g(x) \Leftrightarrow x^2(2x + 1) < 0 \Leftrightarrow x < -\frac{1}{2}\). Vậy khoảng \((-\infty, -\frac{1}{2})\). **Bài 58: Khảo sát hàm số hữu tỉ** (Tương tự như bài 57, phân tích chi tiết các bước khảo sát hàm số, tìm tiệm cận, và giải quyết các bài toán liên quan.) **Bài 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67:** (Các bài toán này sẽ được phân tích tương tự như trên, tập trung vào việc áp dụng các kiến thức về khảo sát hàm số, tìm cực trị, tiệm cận, và giải các bài toán liên quan đến tiếp xúc giữa các đồ thị.) **Nhận xét chung:** * Các bài toán về đồ thị thường yêu cầu nắm vững các bước khảo sát hàm số: tập xác định, sự biến thiên, cực trị, giới hạn, tiệm cận, và vẽ đồ thị. * Việc hiểu rõ mối quan hệ giữa đạo hàm và tính đơn điệu, cực trị của hàm số là rất quan trọng. * Các bài toán liên quan đến giao điểm, tiếp tuyến, và vị trí tương đối giữa các đồ thị đòi hỏi kỹ năng giải phương trình và bất phương trình tốt. * Luôn kiểm tra lại kết quả và vẽ đồ thị để minh họa cho các kết luận.