giải bài tập sgk hình học 12 cơ bản: khái niệm về thể tích của khối đa diện

## Giải Chi Tiết Các Bài Tập về Khối Đa Diện – Hình Học 12 Cơ Bản Bài viết này sẽ trình bày chi tiết lời giải các bài tập trong phần “Câu hỏi và bài tập” và “Bài tập luyện tập” của sách giáo khoa Hình học 12 cơ bản, tập trung vào chủ đề “Khái niệm về thể tích của khối đa diện”. Chúng ta sẽ cùng phân tích từng bài toán, làm rõ phương pháp tiếp cận và các kết quả quan trọng. **Bài 1. Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh \(a\).** **Lời giải:** Để tính thể tích khối tứ diện đều cạnh \(a\), ta cần xác định chiều cao và diện tích đáy. * **Diện tích đáy:** Đáy là tam giác đều cạnh \(a\), do đó diện tích đáy \(S_{BCD} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\). * **Chiều cao:** Gọi \(O\) là tâm của tam giác đều \(BCD\). \(AO\) vuông góc với mặt phẳng \((BCD)\). Ta tính \(AO\) bằng định lý Pitago: \(AO = \sqrt{AB^2 - BO^2}\). Vì \(BO = \frac{2}{3}BB’ = \frac{2}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}\), nên \(AO = \sqrt{a^2 - (\frac{a\sqrt{3}}{3})^2} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{3}} = a\sqrt{\frac{2}{3}}\). * **Thể tích:** Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp: \(V = \frac{1}{3} \cdot AO \cdot S_{BCD} = \frac{1}{3} \cdot a\sqrt{\frac{2}{3}} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}\). **Nhận xét:** Bài toán này đòi hỏi sự hiểu biết về hình học không gian, đặc biệt là các tính chất của tứ diện đều và khả năng vận dụng định lý Pitago để tính chiều cao. **Bài 2. Tính thể tích khối bát diện đều cạnh \(a\).** **Lời giải:** Khối bát diện đều có thể được chia thành hai khối chóp bằng nhau có đáy là hình vuông và đỉnh chung. * **Thể tích một khối chóp:** \(V_{ABCDE} = \frac{1}{3} \cdot S_{BCDE} \cdot AO\), với \(O\) là tâm của hình vuông \(BCDE\). * **Diện tích đáy:** \(S_{BCDE} = a^2\). * **Chiều cao:** \(AO = \sqrt{AB^2 - BO^2} = \sqrt{a^2 - (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2} = \frac{a}{\sqrt{2}}\). * **Thể tích khối bát diện:** \(V_{ABCDEF} = 2 \cdot V_{ABCDE} = 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{2a^3}{3\sqrt{2}} = \frac{a^3\sqrt{2}}{3}\). **Nhận xét:** Bài toán này yêu cầu khả năng phân tích hình học, chia khối đa diện phức tạp thành các khối đơn giản hơn để tính toán thể tích. **Bài 3. Cho hình hộp \(ABCD.A’B’C’D’\). Tính tỉ số thể tích của khối hộp đó và thể tích của khối tứ diện \(ACB’D’\).** **Lời giải:** * **Thể tích khối hộp:** \(V_{ABCD.A’B’C’D’} = V\). * **Thể tích khối tứ diện:** \(V_{ACB’D’} = \frac{1}{6}V\). (Chứng minh bằng cách phân tích khối tứ diện thành các khối chóp nhỏ hơn có chung đỉnh và đáy là các mặt của hình hộp). * **Tỉ số:** \(\frac{V_{ABCD.A’B’C’D’}}{V_{ACB’D’}} = \frac{V}{\frac{1}{6}V} = 6\). **Nhận xét:** Bài toán này kiểm tra khả năng hiểu và vận dụng các tính chất của hình hộp và khối tứ diện, cũng như kỹ năng tính toán thể tích. **Bài 4. Cho hình chóp \(giaibaitoan.com\). Trên các đoạn thẳng \(SA\), \(SB\), \(SC\) lần lượt lấy ba điểm \(A’\), \(B’\), \(C’\) khác \(S\). Chứng minh rằng: \(\frac{V_{S.A’B’C’}}{V_{giaibaitoan.com}} = \frac{SA’}{SA} \cdot \frac{SB’}{SB} \cdot \frac{SC’}{SC}\).** **Lời giải:** Công thức này là một kết quả quan trọng trong việc tính tỉ số thể tích của các khối chóp có chung đỉnh. Chứng minh dựa trên việc sử dụng công thức tính thể tích khối chóp \(V = \frac{1}{3} \cdot S_{đáy} \cdot h\). Khi đó, tỉ số thể tích sẽ phụ thuộc vào tỉ số giữa các chiều cao và diện tích đáy. Do \(A’\), \(B’\), \(C’\) nằm trên \(SA\), \(SB\), \(SC\) nên diện tích đáy \(\Delta A'B'C'\) tỉ lệ với diện tích \(\Delta ABC\). **Nhận xét:** Đây là một công thức quan trọng cần ghi nhớ và áp dụng trong nhiều bài toán liên quan đến thể tích khối chóp. **Bài 5. Cho tam giác \(ABC\) vuông cân ở \(A\) và \(AB = a\). Trên đường thẳng qua \(C\) và vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\) lấy điểm \(D\) sao cho \(CD = a\). Mặt phẳng qua \(C\) vuông góc với \(BD\) cắt \(BD\) tại \(F\) và cắt \(AD\) tại \(E\). Tính thể tích khối tứ diện \(CDEF\) theo \(a\).** **Lời giải:** (Đã trình bày chi tiết trong đề bài) **Nhận xét:** Bài toán này đòi hỏi sự kết hợp nhiều kiến thức về hình học không gian, bao gồm tính chất của đường vuông góc, mặt phẳng vuông góc, và khả năng tính toán thể tích khối tứ diện. **Bài 6. Cho hai đường thẳng chéo nhau \(d\) và \(d’\). Đoạn thẳng \(AB\) có độ dài bằng \(a\) trượt trên \(d\), đoạn thẳng \(CD\) có độ dài \(b\) trượt trên \(d’\). Chứng minh rằng khối tứ diện \(ABCD\) có thể tích không đổi.** **Lời giải:** (Đã trình bày chi tiết trong đề bài) **Nhận xét:** Bài toán này là một ứng dụng thú vị của việc tính thể tích khối tứ diện, cho thấy thể tích của khối tứ diện không phụ thuộc vào vị trí của các đoạn thẳng trượt trên các đường thẳng chéo nhau.