giải bài tập sgk hình học 12 cơ bản: khái niệm về mặt tròn xoay

## Giải chi tiết các bài tập Khái niệm về mặt tròn xoay - Hình học 12 Bài viết này sẽ trình bày chi tiết lời giải các bài tập trong phần Câu hỏi và bài tập, phần Luyện tập của sách giáo khoa Hình học 12 cơ bản, chủ đề Khái niệm về mặt tròn xoay. Chúng ta sẽ cùng phân tích từng bài toán, làm rõ các khái niệm và công thức liên quan. **Bài 1:** Cho đường tròn tâm \(O\) bán kính \(r\) nằm trên một mặt phẳng \((P)\). Từ những điểm \(M\) thuộc đường tròn này ta kẻ những đường thẳng vuông góc với \((P)\). Chứng minh rằng những đường thẳng như vậy nằm trên một mặt trụ tròn xoay. Hãy xác định trục của mặt trụ và bán kính của mặt trụ đó. **Lời giải:** Qua tâm \(O\) của đường tròn kẻ đường thẳng \(\Delta\) vuông góc với mặt phẳng \((P)\). Ta có: * \(\Delta // m\) (với \(m\) là đường thẳng qua \(M\) và \(m \bot (P)\)) * Khoảng cách giữa \(\Delta\) và \(m\) luôn bằng \(r\). Vậy các đường thẳng \(m\) luôn luôn nằm trên mặt trụ tròn xoay có trục là đường thẳng \(\Delta\) và có bán kính bằng \(r\). **Nhận xét:** Bài toán này giúp hiểu rõ cách hình thành mặt trụ tròn xoay từ một đường tròn và các đường thẳng song song với một trục cố định. **Bài 2:** Trong mỗi trường hợp sau đây hãy gọi tên các hình tròn xoay hoặc khối tròn xoay sinh ra bởi: a) Ba cạnh của hình chữ nhật khi quay quanh đường thẳng chứa cạnh thứ tư. b) Ba cạnh của một tam giác cân khi quay quanh trục đối xứng của nó. c) Một tam giác vuông kể các điểm trong tam giác vuông đó khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh góc vuông. d) Một hình chữ nhật kể các điểm trong của hình chữ nhật đó khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh. **Lời giải:** a) Hình tròn xoay sinh ra bởi quay ba cạnh của hình chữ nhật quanh đường thẳng chứa cạnh thứ tư là hình trụ tròn xoay (hay hình trụ). b) Hình tròn xoay sinh ra bởi một tam giác cân quay quanh trục đối xứng của nó là hình nón tròn xoay (hay là hình nón). c) Khối tròn xoay đó gọi là khối nón tròn xoay. d) Khối tròn xoay đó gọi là khối trụ tròn xoay. **Nhận xét:** Bài tập này củng cố kiến thức về các hình tròn xoay cơ bản và cách chúng được tạo thành từ việc quay các hình phẳng. **Bài 3:** Cho hình nón tròn xoay có đường cao \(h = 20cm\), bán kính đáy \(r = 25cm\). a) Tính diện tích xung quanh của hình nón đã cho. b) Tính thể tích của khối nón tạo bởi hình nón đó. c) Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là \(12cm\). Tính diện tích thiết diện. **Lời giải:** a) Áp dụng công thức: \({S_{xq}} = \pi .r.l\) Độ dài đường sinh của mặt nón là: \(l = \sqrt {r^2 + h^2} = \sqrt {25^2 + 20^2} = \sqrt {1025} = 5\sqrt{41}\) \( \Rightarrow {S_{xq}} = \pi .25.\sqrt {1025} \approx 2514,5 \left( {cm^2} \right)\). b) Thể tích của khối nón là: \(V = \frac{1}{3}\pi .{r^2}.h = \frac{1}{3}.\pi .{25^2}.20 \approx 13089,969 \left( {cm^3} \right)\). c) Gọi \(H\) là trung điểm của \(MN\), ta có: \(IH \bot MN\) và \(OH \bot MN\) \( \Rightarrow MN \bot (OIH)\). Xét tam giác vuông \(OIH\), ta có: \(IH = \sqrt{OI^2 - OH^2} = \sqrt{25^2 - 12^2} = \sqrt{481}\) \(MN = giaibaitoan.com = 2\sqrt {IM^2 - IH^2} = 2\sqrt {25^2 - 12^2} = 2\sqrt{481}\) Vậy diện tích của thiết diện là diện tích của \(\Delta OMN\) và: \(S = \frac{1}{2}giaibaitoan.com = \frac{1}{2}.12.2\sqrt{481} = 12\sqrt{481} \approx 500 \left( {cm^2} \right)\). **Nhận xét:** Bài toán này vận dụng các công thức tính diện tích xung quanh, thể tích của hình nón và sử dụng kiến thức về tam giác vuông để giải quyết bài toán thực tế. **Bài 4:** Trong không gian cho hai điểm \(A\), \(B\) cố định và có độ dài \(AB = 20cm\). Gọi \(d\) là đường thẳng thay đổi luôn luôn đi qua \(A\) và cách \(B\) một khoảng bằng \(10cm\). Chứng tỏ rằng đường thẳng \(d\) luôn nằm trên một mặt nón, hãy xác định trục và góc ở đỉnh của mặt nón đó. **Lời giải:** Gọi \(\Delta\) là đường thẳng qua \(AB\), \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(B\) lên đường thẳng \(d\), ta có: \(BH = 10cm\) \( \Rightarrow \sin \widehat {BAH} = \frac{{BH}}{{AB}} = \frac{1}{2}\). \( \Leftrightarrow \widehat {BAH} = {30^0}\), hay góc giữa đường thẳng \(\Delta\) và đường thẳng \(d\) là \({30^0}\). Vậy đường thẳng \(d\) luôn luôn nằm trên mặt nón tròn xoay có trục là đường thẳng qua \(AB\) và góc ở đỉnh là \(2\alpha = {60^0}\). **Nhận xét:** Bài toán này liên hệ giữa đường thẳng và mặt nón, giúp hiểu rõ hơn về tính chất của mặt nón. **Bài 5:** Một hình trụ có bán kính đáy \(r = 5cm\) và có khoảng cách giữa hai đáy bằng \(7cm\). a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ được tạo nên. b) Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục \(3cm\). Hãy tính diện tích của thiết diện được tạo nên. **Lời giải:** a) Diện tích xung quanh của hình trụ là: \({S_{xq}} = 2\pi .r.h = 2\pi .5.7 \approx 219,91cm^2\). Thể tích của khối trụ là: \(V = \pi .{r^2}.h = \pi .{5^2}.7 \approx 549,77cm^3\). b) Thiết diện là hình chữ nhật \(ABCD\). Kẻ \(OI \bot AB\), ta có \(OI = 3cm\). \(AB = 2AI = 2\sqrt {OA^2 - OI^2} = 2\sqrt {5^2 - 3^2} = 8cm\). Vậy diện tích của thiết diện là: \(S = giaibaitoan.com = 8.7 = 56cm^2\). **Nhận xét:** Bài toán này áp dụng các công thức tính diện tích xung quanh, thể tích của hình trụ và sử dụng định lý Pitago để tính độ dài các cạnh của hình chữ nhật. **(Các bài tập 6, 7, 8, 9, 10 sẽ được trình bày tương tự, bao gồm lời giải chi tiết và nhận xét sau mỗi bài.)**