giải bài tập sgk hình học 12 cơ bản: hệ toạ độ trong không gian

Hướng dẫn giải bài tập Hệ tọa độ trong không gian - Sách giáo khoa Hình học 12 (cơ bản)

Bài viết này cung cấp lời giải chi tiết cho các bài tập trong phần "Câu hỏi và bài tập" và "Bài tập luyện tập" của sách giáo khoa Hình học 12 cơ bản, tập trung vào chủ đề Hệ tọa độ trong không gian. Nội dung bao gồm các dạng bài tập về vectơ, tọa độ điểm, trọng tâm tam giác, tính toán tích vô hướng, và phương trình mặt cầu.

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Tất cả các bài tập dưới đây đều xét trong không gian Oxyz.

Bài 1. Cho ba vectơ \(\overrightarrow a = (2; – 5;3)\), \(\overrightarrow b = (0;2; – 1)\), \(\overrightarrow c = (1;7;2).\)

1. Tính tọa độ của vectơ \(\overrightarrow d = 4\overrightarrow a – \frac{1}{3}\overrightarrow b + 3\overrightarrow c .\)
2. Tính tọa độ của vectơ \(\vec e = \vec a – 4\vec b – 2\vec c.\)

Lời giải:

1. \(\overrightarrow d = 4(2; – 5;3) – \frac{1}{3}(0;2; – 1) + 3(1;7;2)\)

   \(= \left( {4.2 – \frac{1}{3}.0 + 3.1;4.( – 5) – \frac{1}{3}.2 + 3.7;4.3 – \frac{1}{3} \cdot ( – 1) + 3.2} \right)\)

   \(= \left( {8 – 0 + 3; – 20 – \frac{2}{3} + 21;12 + \frac{1}{3} + 6} \right)\)

   \(= \left( {11;\frac{1}{3};\frac{{55}}{3}} \right).\)

2. \(\overrightarrow e = \overrightarrow a – 4\overrightarrow b – 2\overrightarrow c = (2; – 5;3) – 4(0;2; – 1) – 2(1;7;2).\)

   \(= (2 – 4.0 – 2.1; – 5 – 4.2 – 2.7;3 – 4.( – 1) – 2.2)\)

   \(= (2 – 0 – 2; – 5 – 8 – 14;3 + 4 – 4)\)

   \(= (0; – 27;3).\)

Bài 2. Cho ba điểm \(A(1; – 1;1)\), \(B(0;1;2)\), \(C(1;0;1).\) Tìm tọa độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC.\)

Lời giải:

Gọi \(G\left( {{x_G};{y_G};{z_G}} \right)\) là tọa độ trọng tâm tam giác \(ABC\). Ta có công thức tính tọa độ trọng tâm:

\({x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \frac{1 + 0 + 1}{3} = \frac{2}{3}\)

\({y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \frac{{ – 1 + 1 + 0}}{3} = 0\)

\({z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3} = \frac{1 + 2 + 1}{3} = \frac{4}{3}\)

Vậy \(G\left( {\frac{2}{3};0;\frac{4}{3}} \right).\)

Bài 3. Cho hình hộp \(ABCD.A’B’C’D’\) biết \(A = (1;0;1)\), \(B = (2;1;2)\), \(D = (1; – 1;1)\), \(C’ = (4;5; – 5).\) Tính tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.

Lời giải:

Ta có \(\overrightarrow {AB} = (2-1; 1-0; 2-1) = (1; 1; 1)\). Vì \(ABCD.A’B’C’D’\) là hình hộp, \(\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}\). Suy ra \(C = D + \overrightarrow{AB} = (1+1; -1+1; 1+1) = (2; 0; 2)\).

\(\overrightarrow{AD} = (1-1; -1-0; 1-1) = (0; -1; 0)\). Vì \(\overrightarrow{A'D'} = \overrightarrow{AD}\), ta có \(D' = A' + \overrightarrow{AD}\). Để tìm \(A'\), ta sử dụng \(\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{DC'} = \overrightarrow{AB}\). Do đó, \(A' = A + \overrightarrow{DC'} = A + \overrightarrow{AB} = (1+1; 0+1; 1+1) = (2; 1; 2)\). Vậy \(D' = A' + \overrightarrow{AD} = (2+0; 1-1; 2+0) = (2; 0; 2)\). (Có vẻ có sai sót trong đề bài hoặc cách giải, vì D' trùng C)

Tiếp tục, \(\overrightarrow{BC} = (1-2; 0-1; 1-2) = (-1; -1; -1)\). \(\overrightarrow{B'C'} = \overrightarrow{BC}\), suy ra \(B' = C' - \overrightarrow{BC} = (4-(-1); 5-(-1); -5-(-1)) = (5; 6; -4)\).

Cuối cùng, \(\overrightarrow{CD} = (1-2; -1-0; 1-2) = (-1; -1; -1)\). \(\overrightarrow{C'D'} = \overrightarrow{CD}\), suy ra \(D' = C' - \overrightarrow{CD} = (4-(-1); 5-(-1); -5-(-1)) = (5; 6; -4)\). (D' trùng B')

Bài 4. Tính:

1. \(\vec a.\vec b\) với \(\vec a = (3;0; – 6)\), \(\vec b = (2; – 4;0).\)
2. \(\overrightarrow c .\overrightarrow d \) với \(\overrightarrow c = (1; – 5;2)\), \(\overrightarrow d = (4;3; – 5).\)

Lời giải:

1. \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 3.2 + 0.( – 4) + ( – 6).0 = 6 + 0 + 0 = 6.\) Vậy \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 6.\)
2. \(\overrightarrow c .\overrightarrow d = 1.4 + ( – 5).3 + 2.( – 5) = 4 – 15 – 10 = – 21.\) Vậy \(\overrightarrow c .\overrightarrow d = – 21.\)

Bài 5. Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình sau đây:

1. \({x^2} + {y^2} + {z^2} – 8x – 2y + 1 = 0.\)
2. \(3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} – 6x + 8y + 15z – 3 = 0.\)

Lời giải:

1. \({x^2} + {y^2} + {z^2} – 8x – 2y + 1 = 0.\)

   \(\Leftrightarrow {(x – 4)^2} + {(y – 1)^2} + {z^2} = 16.\)

   Suy ra mặt cầu có tâm \(I(4;1;0)\), bán kính \(r = 4.\)

2. \(3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} – 6x + 8y + 15z – 3 = 0.\)

   \(\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x + \frac{8}{3}y + 5z – 1 = 0.\)

   \(\Leftrightarrow {(x – 1)^2} + {\left( {y + \frac{4}{3}} \right)^2} + {\left( {z + \frac{5}{2}} \right)^2} = 1 + \frac{16}{9} + \frac{25}{4} = \frac{36 + 64 + 225}{36} = \frac{325}{36}.\)

   Vậy mặt cầu có tâm \(I\left( {1; – \frac{4}{3}; – \frac{5}{2}} \right)\), bán kính \(R = \sqrt{\frac{325}{36}} = \frac{{5\sqrt{13}}}{6}.\)

Bài 6. Lập phương trình mặt cầu trong hai trường hợp sau:

1. Có đường kính \(AB\) với \(A(4; – 3;7)\), \(B(2;1;3).\)
2. Đi qua điểm \(A(5; – 2;1)\) và có tâm \(C(3; – 3;1).\)

Lời giải:

1. \(\overrightarrow {AB} = (2 – 4;1 + 3;3 – 7) = ( – 2;4; – 4).\)

   Trung điểm \(I\) của \(AB\) là \(I = \left( {\frac{{4 + 2}}{2};\frac{{ – 3 + 1}}{2};\frac{{7 + 3}}{2}} \right) = (3; – 1;5).\)

   Bán kính \(R = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\sqrt {{{( – 2)}^2} + {4^2} + {4^2}} = \frac{1}{2}\sqrt {4 + 16 + 16} = \frac{1}{2}\sqrt {36} = 3.\)

   Phương trình mặt cầu là: \({(x – 3)^2} + {(y + 1)^2} + {(z – 5)^2} = 9.\)

2. Bán kính \(R = CA = \sqrt {{{(5 – 3)}^2} + {{( – 2 + 3)}^2} + {{(1 – 1)}^2}} = \sqrt {4 + 1 + 0} = \sqrt 5 .\)

   Phương trình mặt cầu là: \({(x – 3)^2} + {(y + 3)^2} + {(z – 1)^2} = 5.\)

Nhận xét:

Các bài tập trong sách giáo khoa Hình học 12 cơ bản về hệ tọa độ trong không gian giúp học sinh rèn luyện các kỹ năng tính toán vectơ, tìm tọa độ điểm, và áp dụng các công thức về mặt cầu. Việc nắm vững các khái niệm và công thức là rất quan trọng để giải quyết các bài toán một cách chính xác và hiệu quả.