giải bài tập sgk giải tích 12 cơ bản: cộng, trừ và nhân số phức

Hướng dẫn giải bài tập về số phức: Cộng, trừ và nhân số phức – Giải tích 12 cơ bản

Bài viết này cung cấp lời giải chi tiết cho các bài tập về phép toán cộng, trừ và nhân số phức, nằm trong phần câu hỏi và bài tập, luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 cơ bản. Nội dung bao gồm các ví dụ minh họa và hướng dẫn tính toán, cùng với cách tiếp cận để giải quyết các bài toán liên quan đến lũy thừa của đơn vị ảo i.

Bài 1: Thực hiện các phép tính cộng, trừ số phức

Đây là những bài tập cơ bản nhằm làm quen với việc cộng trừ số phức. Quy tắc thực hiện tương tự như cộng trừ đa thức, chỉ cần lưu ý rằng i là đơn vị ảo và i² = -1.

Lời giải:

1. a) (3 – 5i) + (2 + 4i) = (3 + 2) + (-5 + 4)i = 5 – i.
2. b) (-2 – 3i) + (-1 – 7i) = (-2 - 1) + (-3 - 7)i = -3 – 10i.
3. c) (4 + 3i) – (5 – 7i) = (4 – 5) + (3 + 7)i = -1 + 10i.
4. d) (2 – 3i) – (5 – 4i) = (2 – 5) + (-3 + 4)i = -3 + i.

Bài 2: Tính tổng và hiệu của số phức

Bài tập này tiếp tục củng cố kỹ năng cộng trừ số phức, đồng thời làm quen với việc xử lý các trường hợp số phức có phần thực hoặc phần ảo bằng 0.

Lời giải:

1. a) α + β = 3 + 2i; α – β = 3 – 2i.
2. b) α + β = (1 – 2i) + 6i = 1 + 4i; α – β = (1 – 2i) – 6i = 1 – 8i.
3. c) α + β = 5i – 7i = -2i; α – β = 5i + 7i = 12i.
4. d) α + β = 15 + (4 – 2i) = 19 – 2i; α – β = 15 – (4 – 2i) = 11 + 2i.

Bài 3: Thực hiện phép nhân số phức

Phép nhân số phức đòi hỏi sự cẩn thận trong việc áp dụng quy tắc phân phối và nhớ rằng i² = -1.

Lời giải:

1. a) (3 – 2i)(2 – 3i) = 6 - 9i - 4i + 6i² = 6 - 13i - 6 = -13i.
2. b) (-1 + i)(3 + 7i) = -3 - 7i + 3i + 7i² = -3 - 4i - 7 = -10 – 4i.
3. c) 5(4 + 3i) = 20 + 15i.
4. d) (-2 – 5i)4i = -8i - 20i² = -8i + 20 = 20 – 8i.

Bài 4: Tính lũy thừa của đơn vị ảo i

Bài tập này giúp học sinh hiểu rõ chu kỳ của lũy thừa của i và cách tính iⁿ với n là số tự nhiên bất kỳ.

Lời giải:

i³ = i².i = -i; i⁴ = (i²)² = (-1)² = 1; i⁵ = i⁴.i = i.

Cách tính iⁿ:

• Nếu n = 4k + 1 thì iⁿ = i.
• Nếu n = 4k + 2 thì iⁿ = -1.
• Nếu n = 4k + 3 thì iⁿ = -i.
• Nếu n = 4k thì iⁿ = 1.

Bài 5: Tính toán với lũy thừa của số phức

Bài tập này kết hợp phép nhân và lũy thừa của số phức, đòi hỏi học sinh phải áp dụng các quy tắc đã học một cách linh hoạt.

Lời giải:

1. a) (2 + 3i)² = 4 + 12i + 9i² = 4 + 12i - 9 = -5 + 12i.
2. b) (2 + 3i)³ = (2 + 3i)²(2 + 3i) = (-5 + 12i)(2 + 3i) = -10 - 15i + 24i + 36i² = -10 + 9i - 36 = -46 + 9i.

Nhận xét chung:

Các bài tập trên cung cấp một nền tảng vững chắc cho việc hiểu và thực hành các phép toán cơ bản với số phức. Việc nắm vững các quy tắc cộng, trừ, nhân và lũy thừa của số phức là rất quan trọng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong chương trình Giải tích.