giải bài tập sgk giải tích 12 nâng cao: căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai

## Giải Chi Tiết Bài Tập Căn Bậc Hai và Phương Trình Bậc Hai Số Phức - Giải Tích 12 Nâng Cao Bài viết này sẽ đi sâu vào giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập, cũng như phần luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao, tập trung vào chủ đề căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai. Chúng ta sẽ phân tích từng bài toán, cung cấp lời giải chi tiết và đánh giá mức độ khó, cũng như các kỹ năng cần thiết để giải quyết chúng. **I. Câu Hỏi và Bài Tập** **Bài 17.** Tìm các căn bậc hai của số phức sau: –i; 4i; –4; 1 + 4√3 i. * **Phân tích:** Bài toán này yêu cầu vận dụng định nghĩa căn bậc hai của số phức. Ta cần tìm số phức z sao cho z² bằng số phức đã cho. Phương pháp giải là đặt z = x + yi và giải hệ phương trình dựa trên z². * **Lời giải:** * **Với –i:** Đặt z = x + yi, ta có (x + yi)² = –i ⇔ x² – y² + 2xyi = –i. Suy ra hệ: * x² – y² = 0 * 2xy = –1 Giải hệ này, ta được x = ±y và y = ±√(2)/2. Kết hợp, ta có hai nghiệm: z = √(2)/2 – √(2)/2 i và z = –√(2)/2 + √(2)/2 i. * **Với 4i:** Tương tự, ta tìm được hai căn bậc hai là z = √(2) + √(2)i và z = –√(2) – √(2)i. * **Với –4:** Ta có z² = –4 ⇔ z = ±2i. * **Với 1 + 4√3 i:** Ta tìm được hai căn bậc hai là z = –2 + √3 i và z = 2 – √3 i. **Bài 18.** Chứng minh rằng nếu z là một căn bậc hai của số phức w thì |z| = √|w|. * **Phân tích:** Bài toán này yêu cầu chứng minh một tính chất liên quan đến module của số phức. Ta cần sử dụng định nghĩa căn bậc hai và tính chất của module số phức. * **Lời giải:** Giả sử w = a + bi và z = x + yi là căn bậc hai của w. Khi đó z² = w, tức là x² – y² + 2xyi = a + bi. Suy ra: * x² – y² = a * 2xy = b Từ đó, ta có: * (x² – y²)² = a² * (2xy)² = b² Cộng hai phương trình trên, ta được: (x² – y²)² + (2xy)² = a² + b² ⇔ (x² + y²)² = a² + b² ⇔ x² + y² = √(a² + b²) ⇔ |z|² = |w| ⇔ |z| = √|w|. **Bài 19.** Giải các phương trình bậc hai sau: a) z² = z + 1. b) z² + 2z + 5 = 0. c) z² + (1 – 3i)z – 2(1 + i) = 0. * **Phân tích:** Bài toán này yêu cầu giải các phương trình bậc hai với hệ số phức. Ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai, chú ý đến việc tính toán với số phức. * **Lời giải:** * **a) z² = z + 1 ⇔ z² – z – 1 = 0:** Δ = 5. Vậy z = (1 ± √5)/2. * **b) z² + 2z + 5 = 0:** Δ = –16 = (4i)². Vậy z₁ = (-2 – 4i)/2 = –1 – 2i và z₂ = (-2 + 4i)/2 = –1 + 2i. * **c) z² + (1 – 3i)z – 2(1 + i) = 0:** Δ = (1 – 3i)² + 8(1 + i) = 2i. Tìm căn bậc hai của Δ: δ₁ = 1 + i và δ₂ = –1 – i. Vậy z₁ = (-(1 – 3i) + (1 + i))/2 = 2i và z₂ = (-(1 – 3i) – (1 + i))/2 = –1 + i. **Bài 20.** a) Hỏi công thức Vi-et về phương trình bậc hai với hệ số thực có còn đúng cho phương trình bậc hai với hệ số phức không? Vì sao? b) Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 4 – i và tích của chúng bằng 5(1 – i). c) Có phải mọi phương trình bậc hai z² + Bz + C = 0 (B, C là hai số phức) nhận hai nghiệm là hai số phức liên hợp không thực phải có các hệ số B, C là hai số thực? Vì sao? Điều ngược lại có đúng không? * **Phân tích:** Bài toán này kiểm tra sự hiểu biết về công thức Vi-et, ứng dụng của nó trong số phức và mối quan hệ giữa nghiệm và hệ số của phương trình bậc hai. * **Lời giải:** * **a)** Công thức Vi-et vẫn đúng cho phương trình bậc hai với hệ số phức. (Chứng minh đã được trình bày trong bài gốc). * **b)** Theo Vi-et, hai số phức cần tìm là nghiệm của phương trình z² – (4 – i)z + 5(1 – i) = 0. Giải phương trình này, ta được z₁ = 3 + i và z₂ = 1 – 2i. * **c)** Khẳng định sai. (Chứng minh và phản ví dụ đã được trình bày trong bài gốc). **II. Luyện Tập** **Bài 23.** Giải phương trình z + 1/z = k trong các trường hợp sau: a) k = 1; b) k = √2; c) k = 2i. (Giải đã được trình bày trong bài gốc). **Bài 24.** Giải các phương trình sau và biểu diễn hình học tập hợp các nghiệm của mỗi phương trình (trong mặt phẳng phức). (Giải đã được trình bày trong bài gốc). **Bài 25.** Tìm các số thực b, c để phương trình z² + bz + c = 0 nhận z = 1 + i làm một nghiệm. (Giải đã được trình bày trong bài gốc). **Bài 26.** (Giải đã được trình bày trong bài gốc). **Đánh giá chung:** Các bài tập trong sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao về chủ đề này có độ khó tăng dần, từ việc tìm căn bậc hai đơn giản đến giải phương trình bậc hai phức tạp và chứng minh các tính chất. Để giải tốt các bài tập này, học sinh cần nắm vững định nghĩa, tính chất của số phức, công thức nghiệm của phương trình bậc hai và công thức Vi-et. Ngoài ra, kỹ năng biến đổi số phức và biểu diễn hình học cũng rất quan trọng.