giải bài tập sgk hình học 12 nâng cao: hệ tọa độ trong không gian

## Giải Chi Tiết Bài Tập Hệ Tọa Độ Trong Không Gian - Hình Học 12 Nâng Cao Bài viết này cung cấp lời giải chi tiết và phân tích chuyên sâu cho các bài tập trong phần "Câu hỏi và bài tập" và "Bài tập" của sách giáo khoa Hình học 12 nâng cao, chương "Hệ tọa độ trong không gian". Mục tiêu là giúp học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải quyết các dạng bài tập liên quan đến vectơ, tích vô hướng, góc giữa các vectơ, phương trình mặt cầu và các ứng dụng của hệ tọa độ trong không gian. **I. Câu Hỏi và Bài Tập** **Bài 1.** Cho các vectơ \(\overrightarrow u = \overrightarrow i – 2\overrightarrow j \); \(\overrightarrow v = 3\overrightarrow i + 5(\overrightarrow j – \overrightarrow k )\); \(\overrightarrow w = 2\overrightarrow i – \overrightarrow k + 3\overrightarrow j \) trong hệ tọa độ \((0;\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k )\). a) Tìm tọa độ của các vectơ đó. b) Tìm côsin của các góc \((\overrightarrow v ,\overrightarrow i )\), \((\overrightarrow v ,\overrightarrow j )\) và \((\overrightarrow v ,\overrightarrow k ).\). c) Tính các tích vô hướng \(\overrightarrow u .\overrightarrow v \), \(\overrightarrow u .\overrightarrow w \), \(\overrightarrow v .\overrightarrow w \). **Lời giải:** a) Để tìm tọa độ của các vectơ, ta biểu diễn chúng theo các vectơ đơn vị \(\overrightarrow i\), \(\overrightarrow j\), \(\overrightarrow k\): * \(\overrightarrow u = \overrightarrow i – 2\overrightarrow j = (1; -2; 0)\) * \(\overrightarrow v = 3\overrightarrow i + 5(\overrightarrow j – \overrightarrow k ) = 3\overrightarrow i + 5\overrightarrow j – 5\overrightarrow k = (3; 5; -5)\) * \(\overrightarrow w = 2\overrightarrow i – \overrightarrow k + 3\overrightarrow j = 2\overrightarrow i + 3\overrightarrow j – \overrightarrow k = (2; 3; -1)\) b) Để tìm côsin của góc giữa hai vectơ, ta sử dụng công thức: \(\cos(\overrightarrow a, \overrightarrow b) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}\). * \(\cos(\overrightarrow v, \overrightarrow i) = \frac{{\overrightarrow v .\overrightarrow i }}{{\left| {\overrightarrow v } \right|.\left| {\overrightarrow i } \right|}} = \frac{(3; 5; -5).(1; 0; 0)}{\sqrt{3^2 + 5^2 + (-5)^2}.\sqrt{1^2}} = \frac{3}{\sqrt{59}}\) * \(\cos(\overrightarrow v, \overrightarrow j) = \frac{{\overrightarrow v .\overrightarrow j }}{{\left| {\overrightarrow v } \right|.\left| {\overrightarrow j } \right|}} = \frac{(3; 5; -5).(0; 1; 0)}{\sqrt{59}.\sqrt{1}} = \frac{5}{\sqrt{59}}\) * \(\cos(\overrightarrow v, \overrightarrow k) = \frac{{\overrightarrow v .\overrightarrow k }}{{\left| {\overrightarrow v } \right|.\left| {\overrightarrow k } \right|}} = \frac{(3; 5; -5).(0; 0; 1)}{\sqrt{59}.\sqrt{1}} = \frac{-5}{\sqrt{59}}\) c) Để tính tích vô hướng của hai vectơ, ta sử dụng công thức: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = x_a x_b + y_a y_b + z_a z_b\). * \(\overrightarrow u .\overrightarrow v = (1; -2; 0).(3; 5; -5) = 1.3 + (-2).5 + 0.(-5) = 3 - 10 + 0 = -7\) * \(\overrightarrow u .\overrightarrow w = (1; -2; 0).(2; 3; -1) = 1.2 + (-2).3 + 0.(-1) = 2 - 6 + 0 = -4\) * \(\overrightarrow v .\overrightarrow w = (3; 5; -5).(2; 3; -1) = 3.2 + 5.3 + (-5).(-1) = 6 + 15 + 5 = 26\) **Bài 2.** Chứng minh rằng \({\cos ^2}(\overrightarrow u ,\overrightarrow i ) + {\cos ^2}(\overrightarrow u ,\overrightarrow j ) + {\cos ^2}(\overrightarrow u ,\overrightarrow k ) = 1\) với \(\overrightarrow u \) là vectơ tùy ý khác \(\vec 0\). **Lời giải:** Giả sử \(\overrightarrow u = (a; b; c)\) với \(a^2 + b^2 + c^2 \neq 0\). Ta có: * \({\cos ^2}(\overrightarrow u ,\overrightarrow i ) = {\left( {\frac{{\overrightarrow u .\overrightarrow i }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow i } \right|}}} \right)^2} = {\left( {\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}} \right)^2} = \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}\) * \({\cos ^2}(\overrightarrow u ,\overrightarrow j ) = {\left( {\frac{{\overrightarrow u .\overrightarrow j }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow j } \right|}}} \right)^2} = {\left( {\frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}} \right)^2} = \frac{{{b^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}\) * \({\cos ^2}(\overrightarrow u ,\overrightarrow k ) = {\left( {\frac{{\overrightarrow u .\overrightarrow k }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow k } \right|}}} \right)^2} = {\left( {\frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}} \right)^2} = \frac{{{c^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}\) Suy ra: \({\cos ^2}(\overrightarrow u ,\overrightarrow i ) + {\cos ^2}(\overrightarrow u ,\overrightarrow j ) + {\cos ^2}(\overrightarrow u ,\overrightarrow k ) = \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} = 1\). **Phân tích:** Bài toán này dựa trên định nghĩa của tích vô hướng và độ dài của vectơ, đồng thời thể hiện mối liên hệ giữa các hướng của một vectơ trong không gian ba chiều. **(Các bài tập 3-14 sẽ được trình bày tương tự, bao gồm lời giải chi tiết và phân tích khi cần thiết. Do giới hạn về độ dài, nội dung sẽ được tiếp tục trong các phản hồi tiếp theo.)**