giải bài tập sgk giải tích 12 nâng cao: tích phân

## Giải Chi Tiết Bài Tập Tích Phân - Giải Tích 12 Nâng Cao Bài viết này sẽ trình bày chi tiết lời giải các bài tập tích phân trong sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao, bao gồm phần Câu hỏi và Bài tập, và phần Luyện tập. Chúng ta sẽ cùng nhau phân tích cách tiếp cận và giải quyết từng dạng bài, đồng thời làm rõ các khái niệm liên quan. **I. Câu Hỏi và Bài Tập** **Bài 10.** Tính các tích phân sau (không tìm nguyên hàm): a) \(\int_{ – 2}^4 {\left( {\frac{x}{2} + 3} \right)dx.}\) b) \(\int_{ – 1}^2 {|x|dx} .\) c) \(\int_{ – 3}^3 {\sqrt {9 – {x^2}} } dx.\) **Lời giải:** a) Ý tưởng chính ở đây là sử dụng hình học để tính tích phân. Hàm số \(y = \frac{x}{2} + 3\) là một đường thẳng. Tích phân \(\int_{ – 2}^4 {\left( {\frac{x}{2} + 3} \right)dx}\) biểu diễn diện tích hình thang giới hạn bởi đường thẳng, trục hoành và hai đường thẳng \(x = -2\) và \(x = 4\). * Chiều cao của hình thang là \(4 - (-2) = 6\). * Độ dài hai đáy là: * \(y(-2) = \frac{-2}{2} + 3 = 2\) * \(y(4) = \frac{4}{2} + 3 = 5\) * Diện tích hình thang là: \(S = \frac{1}{2}(2 + 5) \times 6 = 21\) (đơn vị diện tích). Vậy, \(\int_{ – 2}^4 {\left( {\frac{x}{2} + 3} \right)dx} = 21\). b) Tương tự, \(\int_{ – 1}^2 {|x|dx}\) biểu diễn diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = |x|\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = -1\) và \(x = 2\). * Với \(x < 0\), \(|x| = -x\). Với \(x \ge 0\), \(|x| = x\). * Diện tích cần tính là tổng diện tích của hai tam giác vuông: * Tam giác thứ nhất có đỉnh tại \((0,0)\), \((-1,0)\), \((-1,1)\). Diện tích là \(\frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2}\). * Tam giác thứ hai có đỉnh tại \((0,0)\), \((2,0)\), \((2,2)\). Diện tích là \(\frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2\). * Tổng diện tích là: \(\frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}\). Vậy, \(\int_{ – 1}^2 {|x|dx} = \frac{5}{2}\). c) \(\int_{ – 3}^3 {\sqrt {9 – {x^2}} } dx\) biểu diễn diện tích của nửa đường tròn có bán kính \(R = 3\). * Diện tích nửa đường tròn là: \(S = \frac{1}{2}\pi R^2 = \frac{1}{2}\pi (3^2) = \frac{9\pi}{2}\). Vậy, \(\int_{ – 3}^3 {\sqrt {9 – {x^2}} } dx = \frac{9\pi}{2}\). **Bài 11.** Cho \(\int_1^2 f (x)dx = – 4\), \(\int_1^5 f (x)dx = 6\), \(\int_1^5 g (x)dx = 8.\) Hãy tính: a) \(\int_2^5 f (x)dx.\) b) \(\int_1^2 3 f(x)dx.\) c) \(\int_1^5 {[f(x) – g(x)]dx} .\) d) \(\int_1^5 {[4f(x) – g(x)]dx} .\) **Lời giải:** Bài này dựa trên các tính chất của tích phân. a) Sử dụng tính chất \(\int_a^c f(x)dx = \int_a^b f(x)dx + \int_b^c f(x)dx\), ta có: \(\int_1^5 f (x)dx = \int_1^2 f (x)dx + \int_2^5 f (x)dx\) \(6 = -4 + \int_2^5 f (x)dx\) \(\int_2^5 f (x)dx = 10\) b) Sử dụng tính chất \(\int_a^b kf(x)dx = k\int_a^b f(x)dx\), ta có: \(\int_1^2 3 f(x)dx = 3\int_1^2 f (x)dx = 3(-4) = -12\) c) Sử dụng tính chất \(\int_a^b [f(x) - g(x)]dx = \int_a^b f(x)dx - \int_a^b g(x)dx\), ta có: \(\int_1^5 {[f(x) – g(x)]dx} = \int_1^5 f (x)dx – \int_1^5 g (x)dx = 6 – 8 = -2\) d) Sử dụng kết hợp các tính chất trên, ta có: \(\int_1^5 {[4f(x) – g(x)]dx} = 4\int_1^5 f (x)dx – \int_1^5 g (x)dx = 4(6) – 8 = 16\) **Bài 12.** Cho \(\int_0^3 f (z)dz = 3\), \(\int_0^4 f (x)dx = 7.\) Hãy tính \(\int_3^4 f (t)dt.\) **Lời giải:** Sử dụng tính chất \(\int_a^c f(x)dx = \int_a^b f(x)dx + \int_b^c f(x)dx\), ta có: \(\int_0^4 f (x)dx = \int_0^3 f (x)dx + \int_3^4 f (x)dx\) \(7 = 3 + \int_3^4 f (x)dx\) \(\int_3^4 f (t)dt = 4\) **Bài 13.** a) Chứng minh rằng nếu \(f(x) > 0\) trên \([a;b]\) thì \(\int_a^b f (x)dx > 0.\) b) Chứng minh rằng nếu \(f(x) > g(x)\) trên \([a;b]\) thì \(\int_a^b f (x)dx > \int_a^b g (x)dx.\) **Lời giải:** a) Nếu \(f(x) > 0\) trên \([a;b]\), thì diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f(x)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = a\) và \(x = b\) là dương. Mà tích phân \(\int_a^b f(x)dx\) chính là diện tích này, do đó \(\int_a^b f(x)dx > 0\). b) Nếu \(f(x) > g(x)\) trên \([a;b]\), thì \(f(x) - g(x) > 0\) trên \([a;b]\). Áp dụng kết quả phần a, ta có: \(\int_a^b [f(x) - g(x)]dx > 0\), hay \(\int_a^b f(x)dx - \int_a^b g(x)dx > 0\), suy ra \(\int_a^b f(x)dx > \int_a^b g(x)dx\). **Bài 14.** a) Một vật chuyển động với vận tốc \(v(t) = 1 – 2\sin 2t\) \((m/s).\) Tính quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm \(t = 0\) \((s)\) đến thời điểm \(t = \frac{{3\pi }}{4}\) \((s).\) b) Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc \(v(t) = 160 – 10t\) \((m/s).\) Tính quãng đường mà vật di chuyển được từ thời điểm \(t = 0\) đến thời điểm mà vật dừng lại. **Lời giải:** a) Quãng đường vật di chuyển được là tích phân của vận tốc theo thời gian: \(S = \int_0^{3\pi /4} (1 – 2\sin 2t)dt = [t + \cos 2t]_0^{3\pi /4} = (\frac{3\pi}{4} + \cos \frac{3\pi}{2}) - (0 + \cos 0) = \frac{3\pi}{4} + 0 - 1 = \frac{3\pi}{4} - 1\) (m). b) Vật dừng lại khi \(v(t) = 0\), tức là \(160 - 10t = 0 \Rightarrow t = 16\) (s). Quãng đường vật di chuyển được là: \(S = \int_0^{16} (160 – 10t)dt = [160t – 5t^2]_0^{16} = (160 \times 16 – 5 \times 16^2) - 0 = 2560 – 1280 = 1280\) (m). **Bài 15 & 16:** (Tương tự như lời giải đã cung cấp, tập trung vào việc áp dụng các công thức và tính chất tích phân để giải quyết bài toán.) **II. Nhận xét chung** Các bài tập trên bao gồm nhiều dạng tích phân khác nhau, từ tính tích phân bằng phương pháp hình học đến sử dụng các tính chất của tích phân và ứng dụng tích phân để giải quyết các bài toán thực tế về chuyển động. Việc nắm vững các định nghĩa, tính chất và phương pháp tính tích phân là rất quan trọng để giải quyết tốt các bài tập này.