Hướng dẫn giải chi tiết các bài tập Nguyên hàm - Giải tích 12 nâng cao
Bài viết này cung cấp lời giải chi tiết cho các bài tập về nguyên hàm trong sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao, bao gồm các bài tập trong phần "Câu hỏi và bài tập" và "Luyện tập". Mục tiêu là giúp học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng tìm nguyên hàm của các hàm số khác nhau.
Bài 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) \(f(x) = 3{x^2} + \frac{x}{2}.\)
Lời giải: Áp dụng tính chất tuyến tính của tích phân và công thức nguyên hàm cơ bản, ta có:
\(\int {\left( {3{x^2} + \frac{x}{2}} \right)dx} = \int 3 {x^2}dx + \int {\frac{x}{2}} dx = {x^3} + \frac{{{x^2}}}{4} + C.\)
Vậy, nguyên hàm của \(f(x) = 3{x^2} + \frac{x}{2}\) là \(F(x) = {x^3} + \frac{{{x^2}}}{4} + C.\)
b) \(f(x) = 2{x^3} – 5x + 7.\)
Lời giải: Tương tự câu a, ta có:
\(\int {\left( {2{x^3} – 5x + 7} \right)dx} = \frac{{{x^4}}}{2} – \frac{5}{2}{x^2} + 7x + C.\)
c) \(f(x) = \frac{1}{{{x^2}}} – {x^2} – \frac{1}{3}.\)
Lời giải: Biến đổi hàm số về dạng lũy thừa và áp dụng công thức nguyên hàm:
\(\int {\left( {\frac{1}{{{x^2}}} – {x^2} – \frac{1}{3}} \right)dx} = \int {\left( {{x^{ – 2}} – {x^2} – \frac{1}{3}} \right)dx} = \frac{{{x^{ – 1}}}}{{ – 1}} – \frac{{{x^3}}}{3} – \frac{1}{3}x + C = – \frac{1}{x} – \frac{{{x^3}}}{3} – \frac{1}{3}x + C.\)
d) \(f(x) = {x^{ – \frac{1}{3}}}.\)
Lời giải: Sử dụng công thức \(\int {x^n dx} = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\) với \(n \neq -1\):
\(\int {\left( {{x^{ – \frac{1}{3}}}} \right)dx} = \frac{{{x^{ – \frac{1}{3} + 1}}}}{{ – \frac{1}{3} + 1}} + C = \frac{{{x^{\frac{2}{3}}}}}{{\frac{2}{3}}} + C = \frac{3}{2}\sqrt[3]{{{x^2}}} + C.\)
e) \(f(x) = {10^{2x}}.\)
Lời giải: Sử dụng công thức \(\int {a^{kx} dx} = \frac{a^{kx}}{k \ln a} + C\):
\(\int 1 {0^{2x}}dx = \frac{{{{10}^{2x}}}}{{2.\ln 10}} + C.\)
Bài 2. Tìm:
a) \(\int {(\sqrt x + \sqrt[3]{x})dx}.\)
Lời giải:
\(\int {(\sqrt x + \sqrt[3]{x})dx} = \int {\left( {{x^{1/2}} + {x^{1/3}}} \right)dx} = \frac{{{x^{\frac{1}{2} + 1}}}}{{\frac{1}{2} + 1}} + \frac{{{x^{\frac{1}{3} + 1}}}}{{\frac{1}{3} + 1}} + C = \frac{2}{3}x\sqrt x + \frac{3}{4}x\sqrt[3]{x} + C.\)
b) \(\int {\frac{{x\sqrt x + \sqrt x }}{{{x^2}}}dx}.\)
Lời giải:
\(\int {\frac{{x\sqrt x + \sqrt x }}{{{x^2}}}dx} = \int {\left( {\frac{{\sqrt x }}{x} + \frac{{\sqrt x }}{{{x^2}}}} \right)dx} = \int {\left( {{x^{ – 1/2}} + {x^{ – 3/2}}} \right)dx} = 2\sqrt x – 2\frac{1}{{\sqrt x }} + C.\)
c) \(\int 4 {\sin ^2}xdx.\)
Lời giải: Sử dụng công thức hạ bậc: \(\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}\)
\(\int 4 {\sin ^2}xdx = 2\int {(1 – \cos 2x)dx} = 2\left( {x – \frac{1}{2}\sin 2x} \right) + C = 2x – \sin 2x + C.\)
d) \(\int {\frac{{1 + \cos 4x}}{2}dx}.\)
Lời giải:
\(\int {\frac{{1 + \cos 4x}}{2}dx} = \frac{1}{2}\int {(1 + \cos 4x)dx} = \frac{1}{2}\left( {x + \frac{1}{4}\sin 4x} \right) + C = \frac{1}{2}x + \frac{1}{8}\sin 4x + C.\)
Bài 3. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
Nguyên hàm của hàm \(y = x.\sin x\) là:
(A) \({x^2}\sin \frac{x}{2} + C.\)
(B) \( – x.\cos x + C.\)
(C) \( – x \cdot \cos x + \sin x + C.\)
Lời giải: Khẳng định (C) đúng. Sử dụng phương pháp tích phân từng phần:
Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} u = x \\ dv = \sin xdx \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} du = dx \\ v = – \cos x \end{array}} \right.\)
\(\int x \sin xdx = – x\cos x + \int {\cos xdx} = – x\cos x + \sin x + C.\)
Bài 4. Khẳng định sau đúng hay sai:
Nếu \(f(x) = (1 – \sqrt x )’\) thì \(\int f (x)dx = – \sqrt x + C.\)
Lời giải: Khẳng định sai. Vì \(f(x) = (1 – \sqrt x )’ = ( – \frac{1}{2\sqrt x} )\) nên \(\int f(x) dx = \int ( – \frac{1}{2\sqrt x} ) dx = - \sqrt{x} + C\). Tuy nhiên, đề bài cho \(f(x) = (1 - \sqrt{x})'\) nên cần tính đạo hàm trước khi kết luận.
