Trắc nghiệm Bài 4: Hệ số góc của đường thẳng Toán 8 Chân trời sáng tạo

+ Sử dụng hệ số góc của đường thẳng:Ta gọi a là hệ số góc của đường thẳng \(y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)\)

+ Đồ thị hàm số bậc nhất

Ta có: \({d_2}:y = - x + 3\)

Vẽ đồ thị của hai hàm số: \(y = x + 3\) và \(y = - x + 3\):

Từ đồ thị ta có, A(3; 0), B(-3; 0), C(3; 0)

Do đó, \(OA = 3,OB = 3,OC = 3,BC = 6\)

Tam giác AOB vuông tại O nên \(AB = \sqrt {O{A^2} + O{B^2}} = \sqrt {{3^2} + {3^2}} = \sqrt {18} \)

Tam giác AOC vuông tại O nên \(AC = \sqrt {O{A^2} + O{C^2}} = \sqrt {{3^2} + {3^2}} = \sqrt {18} \)

Chu vi của tam giác ABC là: \(AB + AC + BC = \sqrt {18} + \sqrt {18} + 6 = 2\sqrt {18} + 6\)

Hàm số bậc nhất có dạng \(y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)\)

Vì đường thẳng \(y = ax + b\) có hệ số góc bằng 2 nên \(a = 2\left( {tm} \right)\)

Do đó hàm số: \(y = 2x + b\)

Đường thẳng \(y = 2x + b\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \( - 1\) nên \(y = - 1;x = 0\)

Ta có: \( - 1 = 2.0 + b\)

\(b = - 1\)

Do đó, hàm số cần tìm là: \(y = 2x - 1\)

+ Sử dụng nhận biết về hai đường thẳng song song: Hai đường thẳng \(y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)\) và \(y' = a'x + b'\left( {a' \ne 0} \right)\) song song với nhau khi \(a = a',b \ne b'\) và ngược lại, trùng nhau khi \(a = a',b = b'\) và ngược lại

+ Sử dụng nhận biết về hai đường thẳng cắt nhau: Hai đường thẳng \(y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)\) và \(y' = a'x + b'\left( {a' \ne 0} \right)\) cắt nhau khi \(a \ne a'\) và ngược lại.

Hai đường thẳng \(y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)\) và \(y' = a'x + b'\left( {a' \ne 0} \right)\) song song với nhau khi \(a = a',b \ne b'\) và ngược lại, trùng nhau khi \(a = a',b = b'\) và ngược lại

Hai đường thẳng \(y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)\) và \(y' = a'x + b'\left( {a' \ne 0} \right)\) cắt nhau khi \(a \ne a'\) và ngược lại.

Ta có: \(y = \frac{{3x + 1}}{3} = x + \frac{1}{3}\) nên hệ số góc của đường thẳng là 1

+ Sử dụng nhận biết về hai đường thẳng song song: Hai đường thẳng \(y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)\) và \(y' = a'x + b'\left( {a' \ne 0} \right)\) song song với nhau khi \(a = a',b \ne b'\) và ngược lại

Để đường thẳng \(y = \left( {m + 1} \right)x + 2\left( {m \ne - 1} \right)\) song song với đường thẳng \(y = - 2x + 1\) thì \(2 \ne 1\) (luôn đúng) và \(m + 1 = - 2\)

\(m = - 3\) (thỏa mãn)

Để đường thẳng \(y = \left( {m - 1} \right)x - 2\left( {m \ne 1} \right)\) cắt đường thẳng \(y = 2x\) thì \(m - 1 \ne 2\)

\(m \ne 3\) (thỏa mãn)

Hai đường thẳng, \(y = 2mx + 1\left( {m \ne 0} \right)\) và \(y = \left( {m + 1} \right)x + 1\) trùng nhau khi: \(1 = 1\) (luôn đúng) và \(2m = m + 1\)

\(m = 1\) (thỏa mãn)

Các cặp 2 đường thẳng cắt nhau là:

\(y = x + 5\) và \(y = - x + 5\); \(y = x + 5\) và \(y = - x + 3\); \(y = - x + 5\) và \(y = x + 7\); \(y = x + 7\) và \(y = - x + 3\)

Do đó, có 4 cặp hai đường thẳng cắt nhau.

Sử dụng nhận biết về hai đường thẳng song song: Hai đường thẳng \(y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)\) và \(y' = a'x + b'\left( {a' \ne 0} \right)\) song song với nhau khi \(a = a',b \ne b'\) và ngược lại

Hàm số \(y = 2mx + 1\) là hàm số bậc nhất khi \(m \ne 0,\) hàm số \(y = \left( {m + 1} \right)x + m\) là hàm số bậc nhất khi \(m \ne - 1\)

Để hai đường thẳng \(y = 2mx + 1\) và \(y = \left( {m + 1} \right)x + m\) song song với nhau thì

\(\left\{ \begin{array}{l}2m = m + 1\\m \ne 1\end{array} \right. \Rightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}m = 1\\m \ne 1\end{array} \right.\), do đó không có giá trị nào của m thỏa mãn bài toán.

Hàm số cần tìm có dạng \(y = 3x + b\left( {b \ne 1} \right)\)

Vì đường thẳng cần tìm đi qua điểm (1;7) nên ta có: \(7 = 3.1 + b,\) tìm được \(b = 4\) (thỏa mãn)

Vậy hàm số cần tìm là \(y = 3x + 4\)

Gọi phương trình đường thẳng d cần tìm là \(y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)\)

Vì d đi qua gốc tọa độ nên \(b = 0 \Rightarrow y = ax\)

Vì điểm M(2; 6) thuộc d nên \(6 = 2a,\) \(a = 3\) (thỏa mãn)

Phương trình đường thẳng d: \(y = 3x\) nên hệ số góc của đường thẳng d là 3.

Vì điểm A(1; 9) thuộc đường thẳng \(y = 2\left( {m + 1} \right)x + m - 2\) nên:

\(9 = 2\left( {m + 1} \right).1 + m - 2\)

\(3m = 9\)

\(m = 3\) (thỏa mãn)

Đường thẳng d: \(y = 8x + 1\), do đó đường thẳng d có hệ số góc là 8

d là hàm số bậc nhất khi \(m \ne 2\)

\(d':y = - 2x - 2mx + 3 = \left( { - 2 - 2m} \right)x + 3\)

d’ là hàm số bậc nhất khi \(m \ne - 1\)

Hai đường thẳng thẳng d: \(y = \left( {m - 2} \right)x - m\) và \(d':y = \left( { - 2 - 2m} \right)x + 3\) cắt nhau thì:

\(m - 2 \ne - 2 - 2m\)

\(3m \ne 0\)

\(m \ne 0\) (thỏa mãn)

d là hàm số bậc nhất khi \(m \ne - 2\)

Hai đường thẳng d: \(y = \left( {m + 2} \right)x + m\) và d’: \(y = - 2x - 2m + 1\) trùng nhau khi:

\(\left\{ \begin{array}{l}m + 2 = - 2\\m = - 2m + 1\end{array} \right.\; \Leftrightarrow \;\left\{ \begin{array}{l}m = - 4\\m = \frac{1}{3}\end{array} \right.\) (vô lí)

Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn bài toán

Hàm số \(y = 2ax + a - 1\) là hàm số bậc nhất khi \(a \ne 0\)

d’: \(y - 4x + 3 = 0\), \(y = 4x - 3\)

Vì đường thẳng d có hệ số góc gấp hai lần hệ số góc của đường thẳng d’: \(y = 4x - 3\) nên hệ số góc của đường thẳng d bằng 8, hay \(2a = 8,\) \(a = 4\) (thỏa mãn)

Do đó, d: \(y = 8x + 3\)

Vì điểm A(x; 6) thuộc đường thẳng d nên \(6 = 8.x + 3\)

\(x = \frac{3}{8}\)

\(\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 1\)

\(\frac{{2x}}{3} + y = 2\)

\(y = \frac{{ - 2x}}{3} + 2\)

Do đó, hệ số góc của đường thẳng trên là \(\frac{{ - 2}}{3}\)

Đường thẳng có dạng \(y = mx + n\) (d)

Vì đường thẳng d đi qua điểm A(m; 3) nên \(3 = {m^2} + n\) (1)

Vì đường thẳng d đi qua điểm B(1; m) nên \(m = m + n\), tìm được \(n = 0\)

Thay \(n = 0\) vào (1) ta có: \({m^2} = 3,\) tìm được \(m = \pm \sqrt 3 \)

Mà \(m > 0\) nên \(m = \sqrt 3 \)

+ Sử dụng nhận biết về hai đường thẳng song song: Hai đường thẳng \(y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)\) và \(y' = a'x + b'\left( {a' \ne 0} \right)\) song song với nhau khi \(a = a',b \ne b'\) và ngược lại

+ Đồ thị hàm số bậc nhất

Hàm số \(y = mx + 3\) là hàm số bậc nhất khi \(m \ne 0\)

Vì đường thẳng d song song với đường thẳng \(y = - x\) nên \(m = - 1\) (thỏa mãn)

Do đó, d: \(y = - x + 3\)

Vẽ đồ thị của hai hàm số: \(y = - x + 3\) và \(y = x + 1\):

Nhìn vào đồ thị ta thấy, A(1; 2), B(3; 0), do đó, \(OB = 3\)

Gọi K là hình chiếu của A trên trục Ox, do đó AK là đường cao trong tam giác OAB và \(AK = 2\)

Diện tích tam giác OAB là: \(S = \frac{1}{2}AK.OB = \frac{1}{2}.3.2 = 3\) (đvdt)

Ta có: \(y = \frac{1}{2}{m^2}x + {m^{10}} - {m^4} - \frac{1}{4}mx + 3 = \left( {\frac{1}{2}{m^2} - \frac{1}{4}m} \right)x + {m^{10}} - {m^4} + 3\)

Hàm số (1) là hàm số bậc nhất khi \(\frac{1}{2}{m^2} - \frac{1}{4}m \ne 0\), tìm được \(m \ne 0,m \ne \frac{1}{2}\)

Ta có: \(\frac{1}{2}{m^2} - \frac{1}{4}m = \frac{1}{2}\left( {{m^2} - \frac{1}{2}m} \right) = \frac{1}{2}\left( {{m^2} - 2.m.\frac{1}{4} + \frac{1}{{16}} - \frac{1}{{16}}} \right) = \frac{1}{2}{\left( {m - \frac{1}{4}} \right)^2} - \frac{1}{{32}} \ge \frac{{ - 1}}{{32}}\)

Do đó, hệ số góc của đồ thị hàm số (1) đạt giá trị nhỏ nhất là \(\frac{{ - 1}}{{32}}\) khi \(m - \frac{1}{4} = 0\), \(m = \frac{1}{4}\) (thỏa mãn)

+ Sử dụng hệ số góc của đường thẳng:Ta gọi a là hệ số góc của đường thẳng \(y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)\)

+ Đồ thị hàm số bậc nhất

Ta có: \({d_2}:y = - x + 3\)

Vẽ đồ thị của hai hàm số: \(y = x + 3\) và \(y = - x + 3\):

Từ đồ thị ta có, A(3; 0), B(-3; 0), C(3; 0)

Do đó, \(OA = 3,OB = 3,OC = 3,BC = 6\)

Tam giác AOB vuông tại O nên \(AB = \sqrt {O{A^2} + O{B^2}} = \sqrt {{3^2} + {3^2}} = \sqrt {18} \)

Tam giác AOC vuông tại O nên \(AC = \sqrt {O{A^2} + O{C^2}} = \sqrt {{3^2} + {3^2}} = \sqrt {18} \)

Chu vi của tam giác ABC là: \(AB + AC + BC = \sqrt {18} + \sqrt {18} + 6 = 2\sqrt {18} + 6\)

Hàm số bậc nhất có dạng \(y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)\)

Vì đường thẳng \(y = ax + b\) có hệ số góc bằng 2 nên \(a = 2\left( {tm} \right)\)

Do đó hàm số: \(y = 2x + b\)

Đường thẳng \(y = 2x + b\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \( - 1\) nên \(y = - 1;x = 0\)

Ta có: \( - 1 = 2.0 + b\)

\(b = - 1\)

Do đó, hàm số cần tìm là: \(y = 2x - 1\)

+ Sử dụng nhận biết về hai đường thẳng song song: Hai đường thẳng \(y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)\) và \(y' = a'x + b'\left( {a' \ne 0} \right)\) song song với nhau khi \(a = a',b \ne b'\) và ngược lại, trùng nhau khi \(a = a',b = b'\) và ngược lại

+ Sử dụng nhận biết về hai đường thẳng cắt nhau: Hai đường thẳng \(y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)\) và \(y' = a'x + b'\left( {a' \ne 0} \right)\) cắt nhau khi \(a \ne a'\) và ngược lại.

Hai đường thẳng \(y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)\) và \(y' = a'x + b'\left( {a' \ne 0} \right)\) song song với nhau khi \(a = a',b \ne b'\) và ngược lại, trùng nhau khi \(a = a',b = b'\) và ngược lại

Hai đường thẳng \(y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)\) và \(y' = a'x + b'\left( {a' \ne 0} \right)\) cắt nhau khi \(a \ne a'\) và ngược lại.

Ta có: \(y = \frac{{3x + 1}}{3} = x + \frac{1}{3}\) nên hệ số góc của đường thẳng là 1

+ Sử dụng nhận biết về hai đường thẳng song song: Hai đường thẳng \(y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)\) và \(y' = a'x + b'\left( {a' \ne 0} \right)\) song song với nhau khi \(a = a',b \ne b'\) và ngược lại

Để đường thẳng \(y = \left( {m + 1} \right)x + 2\left( {m \ne - 1} \right)\) song song với đường thẳng \(y = - 2x + 1\) thì \(2 \ne 1\) (luôn đúng) và \(m + 1 = - 2\)

\(m = - 3\) (thỏa mãn)

Để đường thẳng \(y = \left( {m - 1} \right)x - 2\left( {m \ne 1} \right)\) cắt đường thẳng \(y = 2x\) thì \(m - 1 \ne 2\)

\(m \ne 3\) (thỏa mãn)

Hai đường thẳng, \(y = 2mx + 1\left( {m \ne 0} \right)\) và \(y = \left( {m + 1} \right)x + 1\) trùng nhau khi: \(1 = 1\) (luôn đúng) và \(2m = m + 1\)

\(m = 1\) (thỏa mãn)

Các cặp 2 đường thẳng cắt nhau là:

\(y = x + 5\) và \(y = - x + 5\); \(y = x + 5\) và \(y = - x + 3\); \(y = - x + 5\) và \(y = x + 7\); \(y = x + 7\) và \(y = - x + 3\)

Do đó, có 4 cặp hai đường thẳng cắt nhau.

Sử dụng nhận biết về hai đường thẳng song song: Hai đường thẳng \(y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)\) và \(y' = a'x + b'\left( {a' \ne 0} \right)\) song song với nhau khi \(a = a',b \ne b'\) và ngược lại

Hàm số \(y = 2mx + 1\) là hàm số bậc nhất khi \(m \ne 0,\) hàm số \(y = \left( {m + 1} \right)x + m\) là hàm số bậc nhất khi \(m \ne - 1\)

Để hai đường thẳng \(y = 2mx + 1\) và \(y = \left( {m + 1} \right)x + m\) song song với nhau thì

\(\left\{ \begin{array}{l}2m = m + 1\\m \ne 1\end{array} \right. \Rightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}m = 1\\m \ne 1\end{array} \right.\), do đó không có giá trị nào của m thỏa mãn bài toán.

Hàm số cần tìm có dạng \(y = 3x + b\left( {b \ne 1} \right)\)

Vì đường thẳng cần tìm đi qua điểm (1;7) nên ta có: \(7 = 3.1 + b,\) tìm được \(b = 4\) (thỏa mãn)

Vậy hàm số cần tìm là \(y = 3x + 4\)

Gọi phương trình đường thẳng d cần tìm là \(y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)\)

Vì d đi qua gốc tọa độ nên \(b = 0 \Rightarrow y = ax\)

Vì điểm M(2; 6) thuộc d nên \(6 = 2a,\) \(a = 3\) (thỏa mãn)

Phương trình đường thẳng d: \(y = 3x\) nên hệ số góc của đường thẳng d là 3.

Vì điểm A(1; 9) thuộc đường thẳng \(y = 2\left( {m + 1} \right)x + m - 2\) nên:

\(9 = 2\left( {m + 1} \right).1 + m - 2\)

\(3m = 9\)

\(m = 3\) (thỏa mãn)

Đường thẳng d: \(y = 8x + 1\), do đó đường thẳng d có hệ số góc là 8

d là hàm số bậc nhất khi \(m \ne 2\)

\(d':y = - 2x - 2mx + 3 = \left( { - 2 - 2m} \right)x + 3\)

d’ là hàm số bậc nhất khi \(m \ne - 1\)

Hai đường thẳng thẳng d: \(y = \left( {m - 2} \right)x - m\) và \(d':y = \left( { - 2 - 2m} \right)x + 3\) cắt nhau thì:

\(m - 2 \ne - 2 - 2m\)

\(3m \ne 0\)

\(m \ne 0\) (thỏa mãn)

d là hàm số bậc nhất khi \(m \ne - 2\)

Hai đường thẳng d: \(y = \left( {m + 2} \right)x + m\) và d’: \(y = - 2x - 2m + 1\) trùng nhau khi:

\(\left\{ \begin{array}{l}m + 2 = - 2\\m = - 2m + 1\end{array} \right.\; \Leftrightarrow \;\left\{ \begin{array}{l}m = - 4\\m = \frac{1}{3}\end{array} \right.\) (vô lí)

Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn bài toán

Hàm số \(y = 2ax + a - 1\) là hàm số bậc nhất khi \(a \ne 0\)

d’: \(y - 4x + 3 = 0\), \(y = 4x - 3\)

Vì đường thẳng d có hệ số góc gấp hai lần hệ số góc của đường thẳng d’: \(y = 4x - 3\) nên hệ số góc của đường thẳng d bằng 8, hay \(2a = 8,\) \(a = 4\) (thỏa mãn)

Do đó, d: \(y = 8x + 3\)

Vì điểm A(x; 6) thuộc đường thẳng d nên \(6 = 8.x + 3\)

\(x = \frac{3}{8}\)

\(\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 1\)

\(\frac{{2x}}{3} + y = 2\)

\(y = \frac{{ - 2x}}{3} + 2\)

Do đó, hệ số góc của đường thẳng trên là \(\frac{{ - 2}}{3}\)

Đường thẳng có dạng \(y = mx + n\) (d)

Vì đường thẳng d đi qua điểm A(m; 3) nên \(3 = {m^2} + n\) (1)

Vì đường thẳng d đi qua điểm B(1; m) nên \(m = m + n\), tìm được \(n = 0\)

Thay \(n = 0\) vào (1) ta có: \({m^2} = 3,\) tìm được \(m = \pm \sqrt 3 \)

Mà \(m > 0\) nên \(m = \sqrt 3 \)

+ Sử dụng nhận biết về hai đường thẳng song song: Hai đường thẳng \(y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)\) và \(y' = a'x + b'\left( {a' \ne 0} \right)\) song song với nhau khi \(a = a',b \ne b'\) và ngược lại

+ Đồ thị hàm số bậc nhất

Hàm số \(y = mx + 3\) là hàm số bậc nhất khi \(m \ne 0\)

Vì đường thẳng d song song với đường thẳng \(y = - x\) nên \(m = - 1\) (thỏa mãn)

Do đó, d: \(y = - x + 3\)

Vẽ đồ thị của hai hàm số: \(y = - x + 3\) và \(y = x + 1\):

Nhìn vào đồ thị ta thấy, A(1; 2), B(3; 0), do đó, \(OB = 3\)

Gọi K là hình chiếu của A trên trục Ox, do đó AK là đường cao trong tam giác OAB và \(AK = 2\)

Diện tích tam giác OAB là: \(S = \frac{1}{2}AK.OB = \frac{1}{2}.3.2 = 3\) (đvdt)

Ta có: \(y = \frac{1}{2}{m^2}x + {m^{10}} - {m^4} - \frac{1}{4}mx + 3 = \left( {\frac{1}{2}{m^2} - \frac{1}{4}m} \right)x + {m^{10}} - {m^4} + 3\)

Hàm số (1) là hàm số bậc nhất khi \(\frac{1}{2}{m^2} - \frac{1}{4}m \ne 0\), tìm được \(m \ne 0,m \ne \frac{1}{2}\)

Ta có: \(\frac{1}{2}{m^2} - \frac{1}{4}m = \frac{1}{2}\left( {{m^2} - \frac{1}{2}m} \right) = \frac{1}{2}\left( {{m^2} - 2.m.\frac{1}{4} + \frac{1}{{16}} - \frac{1}{{16}}} \right) = \frac{1}{2}{\left( {m - \frac{1}{4}} \right)^2} - \frac{1}{{32}} \ge \frac{{ - 1}}{{32}}\)

Do đó, hệ số góc của đồ thị hàm số (1) đạt giá trị nhỏ nhất là \(\frac{{ - 1}}{{32}}\) khi \(m - \frac{1}{4} = 0\), \(m = \frac{1}{4}\) (thỏa mãn)