xét sự biến thiên của hàm số

## Hướng dẫn Giải Bài Toán Xét Sự Biến Thiên của Hàm Số (Giải tích 12) Bài viết này cung cấp hướng dẫn chi tiết về phương pháp giải các bài toán xét sự biến thiên của hàm số, bao gồm cả dạng tự luận và trắc nghiệm, thuộc chương trình Giải tích 12. Nội dung được trình bày một cách hệ thống, kèm theo các ví dụ minh họa và phân tích sâu sắc để giúp học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng cần thiết. **1. Phương Pháp Chung** Để xét sự biến thiên của một hàm số \(y = f(x)\), ta thực hiện theo các bước sau: * **Bước 1: Xác định Tập Xác Định (TXĐ)**. Tìm khoảng hoặc tập hợp các giá trị \(x\) mà hàm số có nghĩa. * **Bước 2: Tính Đạo Hàm \(y'\)**. Tính đạo hàm bậc nhất của hàm số. Sau đó, giải phương trình \(y' = 0\) để tìm các điểm tới hạn (điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định). * **Bước 3: Tính Các Giới Hạn (nếu cần)**. Tính các giới hạn của hàm số khi \(x\) tiến tới vô cùng, các điểm gián đoạn hoặc các điểm tới hạn. Việc này giúp xác định tiệm cận và hành vi của hàm số ở các vùng khác nhau. * **Bước 4: Lập Bảng Biến Thiên**. Dựa vào các thông tin thu được từ các bước trên, lập bảng biến thiên để tóm tắt sự biến thiên của hàm số (khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến, cực trị, giới hạn, tiệm cận). **2. Bài Tập Tự Luận và Trắc Nghiệm** Dưới đây là một số bài tập minh họa, kèm theo lời giải chi tiết và phân tích cách tiếp cận cho cả hai dạng bài tập tự luận và trắc nghiệm. **Bài tập 1:** Hàm số nào sau đây là hàm số đồng biến trên \(R\)? A. \(y = {\left( {{x^2} – 1} \right)^2} – 3x + 2.\) B. \(y = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}.\) C. \(y = \frac{x}{{x + 1}}.\) D. \(y = \tan x.\) **Đáp số:** B **Lời giải tự luận:** * **Hàm số A:** \(y’ = 2x\left( {{x^2} – 1} \right) – 3 = 2{x^3} – 2x – 3\). Vì \(y'(0) = -3 < 0\), hàm số không đồng biến trên \(R\). * **Hàm số B:** \(y’ = \frac{1}{{\sqrt {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^3}} }} > 0\) với mọi \(x \in R\). Do đó, hàm số đồng biến trên \(R\). * **Hàm số C:** \(y’ = \frac{-1}{{(x+1)^2}} < 0\) với mọi \(x \neq -1\). Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định. * **Hàm số D:** Hàm số \(y = \tan x\) không xác định trên \(R\). **Lựa chọn đáp án bằng phép thử:** * Hàm số đồng biến trên \(R\) phải xác định trên \(R\). Loại C và D. * Hàm số A là hàm bậc bốn, đạo hàm là đa thức bậc ba, không thể luôn dương. Loại A. * Vậy đáp án B là đúng. **Nhận xét:** * **Giải tự luận:** Thực hiện theo hai bước: tính đạo hàm và đánh giá dấu của đạo hàm để xét tính đồng biến. * **Phép thử:** Loại trừ dần các đáp án bằng cách sử dụng điều kiện cần (xác định trên \(R\)) và tính chất của hàm số (ví dụ, đa thức bậc ba luôn có ít nhất một nghiệm). **Bài tập 2:** Hàm số \(y = {x^3} – 6{x^2} + 9x + 7\) đồng biến trên các khoảng: A. \(( – \infty ;1)\) và \([3; + \infty ).\) B. \(( – \infty ;1]\) và \([3; + \infty ).\) C. \(( – \infty ;1]\) và \((3; + \infty ).\) D. \(( – \infty ;1)\) và \((3; + \infty ).\) **Đáp số:** B **Lời giải tự luận:** * Tập xác định: \(D = R\). * Đạo hàm: \(y’ = 3{x^2} – 12x + 9\). * Hàm số đồng biến khi: \(y’ \ge 0 \Leftrightarrow 3{x^2} – 12x + 9 \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} – 4x + 3 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x \ge 3}\\ {x \le 1} \end{array}} \right.\). * Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \(( – \infty ;1]\) và \([3; + \infty ).\) **Lựa chọn đáp án bằng phép thử:** * Hàm số đồng biến khi \(y’ \ge 0\), do đó cần có dấu ngoặc vuông. Loại A, C, D. * Vậy đáp án B là đúng. **Nhận xét:** * **Giải tự luận:** Tính đạo hàm và giải bất phương trình \(y’ \ge 0\). * **Phép thử:** Dựa vào dấu của bất phương trình để loại trừ các đáp án không thỏa mãn. **(Các bài tập 3-19 và 20 được trình bày tương tự, bao gồm lời giải tự luận, lựa chọn đáp án bằng phép thử và nhận xét. Do giới hạn về độ dài, chỉ một số bài tập được trình bày chi tiết. Các bài tập còn lại có thể được xem trong nội dung gốc.)** **Bài tập 20:** (Ví dụ tổng hợp) Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + mx – m + 8}}{{x – 1}}.\) a. Khảo sát sự biến thiên của hàm số. b. Tìm \(m\) để hàm số có cực trị. **(Lời giải và phân tích tương tự như các bài tập trước, tập trung vào việc tính đạo hàm, tìm điểm tới hạn, lập bảng biến thiên và phân tích các trường hợp khác nhau của tham số \(m\).)** **Kết luận:** Việc nắm vững phương pháp chung và luyện tập thông qua các bài tập đa dạng là chìa khóa để thành công trong việc giải các bài toán xét sự biến thiên của hàm số. Việc kết hợp cả phương pháp giải tự luận và phép thử sẽ giúp học sinh kiểm tra lại kết quả và nâng cao hiệu quả học tập.