Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

Bài 1 trong sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức tập trung vào việc vận dụng kiến thức về đạo hàm để xác định tính đơn điệu và cực trị của hàm số. Đây là một phần quan trọng trong chương trình học, giúp học sinh hiểu sâu hơn về tính chất của hàm số và ứng dụng của đạo hàm trong việc phân tích hàm số.

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

Trước khi đi vào giải bài tập, chúng ta cần nắm vững các khái niệm và công thức liên quan:

Tính đơn điệu của hàm số: Hàm số f(x) được gọi là đồng biến trên khoảng (a, b) nếu với mọi x1, x2 thuộc (a, b) và x1 < x2 thì f(x1) < f(x2). Hàm số được gọi là nghịch biến trên khoảng (a, b) nếu với mọi x1, x2 thuộc (a, b) và x1 < x2 thì f(x1) > f(x2).
Điều kiện để hàm số đồng biến/nghịch biến:
- Nếu f'(x) > 0 với mọi x thuộc (a, b) thì hàm số f(x) đồng biến trên (a, b).
- Nếu f'(x) < 0 với mọi x thuộc (a, b) thì hàm số f(x) nghịch biến trên (a, b).
Cực trị của hàm số: Điểm x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng mở (a, b) chứa x0 sao cho f(x) < f(x0) với mọi x thuộc (a, b). Điểm x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng mở (a, b) chứa x0 sao cho f(x) > f(x0) với mọi x thuộc (a, b).
Điều kiện cần để hàm số có cực trị: Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số f(x) thì f'(x0) = 0.
Điều kiện đủ để hàm số có cực trị:
- Nếu f'(x0) = 0 và f''(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số f(x).
- Nếu f'(x0) = 0 và f''(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại của hàm số f(x).

II. Giải bài tập SBT Toán 12 Kết nối tri thức Bài 1

Dưới đây là hướng dẫn giải chi tiết các bài tập trong sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức Bài 1. Chúng tôi sẽ trình bày các bước giải một cách rõ ràng, dễ hiểu, kèm theo các chú ý quan trọng.

Bài 1.1: Xác định khoảng đơn điệu của hàm số y = x^3 - 3x^2 + 2.

Tính đạo hàm y' = 3x^2 - 6x.
Giải phương trình y' = 0 để tìm các điểm cực trị: 3x^2 - 6x = 0 => x = 0 hoặc x = 2.
Lập bảng xét dấu y':
x -∞ 0 2 +∞
y' + - +
f(x) Đồng biến Nghịch biến Đồng biến
Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞, 0) và (2, +∞), nghịch biến trên khoảng (0, 2).

x	-∞	0	2	+∞
y'	+	-	+
f(x)	Đồng biến	Nghịch biến	Đồng biến

Bài 1.2: Tìm cực đại, cực tiểu của hàm số y = x^4 - 4x^3 + 4x^2 + 1.

Tính đạo hàm y' = 4x^3 - 12x^2 + 8x.
Giải phương trình y' = 0 để tìm các điểm cực trị: 4x^3 - 12x^2 + 8x = 0 => x = 0, x = 1, x = 2.
Tính đạo hàm bậc hai y'' = 12x^2 - 24x + 8.
Tính y''(x) tại các điểm cực trị:
- y''(0) = 8 > 0 => x = 0 là điểm cực tiểu.
- y''(1) = -4 < 0 => x = 1 là điểm cực đại.
- y''(2) = 8 > 0 => x = 2 là điểm cực tiểu.
Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị để tìm cực đại, cực tiểu.

III. Luyện tập thêm

Để củng cố kiến thức, bạn có thể tự giải thêm các bài tập tương tự trong sách bài tập và các đề thi thử Toán 12.

Hy vọng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số - SBT Toán 12 - Kết nối tri thức. Chúc bạn học tập tốt!