Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập toán 12 sách Kết nối tri thức. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn từng bước giải bài 1.6 trang 9, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Chúng tôi cam kết cung cấp nội dung chính xác, đầy đủ và cập nhật liên tục để đáp ứng nhu cầu học tập của học sinh.
Chứng minh rằng hàm số (fleft( x right) = sqrt[3]{{{x^2}}}) không có đạo hàm tại (x = 0) nhưng có cực tiểu tại điểm (x = 0).
Đề bài
Chứng minh rằng hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt[3]{{{x^2}}}\) không có đạo hàm tại \(x = 0\) nhưng có cực tiểu tại điểm \(x = 0\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Tìm tập xác định của hàm số
- Tính giới hạn trái, phải tại điểm \(x = 0\) của \(\frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}}\). So sánh hai kết quả đó với nhau, dựa vào kiến thức về định nghĩa đạo hàm tại một điểm để rút ra hàm số không có đạo hàm tại \(x = 0\) (do giới hạn trái và phải vừa tính khác nhau).
- Dùng định nghĩa về cực tiểu của hàm số để chứng minh hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0\).
Lời giải chi tiết
Tập xác định: \(\mathbb{R}\)
Xét \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} = \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{1}{{\sqrt[3]{x}}} = - \infty;\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} = \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{\sqrt[3]{x}}} = + \infty.\)
Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} = \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} = \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}}\) do đó hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt[3]{{{x^2}}}\) không có đạo hàm tại \(x = 0\).
Ta có hàm số \(f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(f\left( 0 \right) = 0\).
Mà \(f\left( x \right) > 0{\rm{ }}\forall {\rm{x}} \ne 0\) suy ra \(f\left( x \right) > f\left( 0 \right){\rm{ }}\forall {\rm{x}} \ne 0\), do đó hàm số \(f\left( x \right)\) đạt cực tiểu tại \(x = 0\).
Bài 1.6 trang 9 sách bài tập toán 12 Kết nối tri thức thuộc chương trình học về giới hạn của hàm số. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về định nghĩa giới hạn để tính giới hạn của hàm số tại một điểm. Việc hiểu rõ định nghĩa và các tính chất của giới hạn là chìa khóa để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả.
Bài tập 1.6 bao gồm một số câu hỏi yêu cầu tính giới hạn của các hàm số khác nhau. Các hàm số này có thể là hàm đa thức, hàm hữu tỉ, hoặc các hàm số phức tạp hơn. Để giải quyết bài tập này, học sinh cần:
Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng câu hỏi trong bài tập 1.6 trang 9 sách bài tập toán 12 Kết nối tri thức:
Để giải câu a, ta cần tính giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến tới một giá trị cụ thể. Ta sử dụng định nghĩa giới hạn và các tính chất của giới hạn để đơn giản hóa biểu thức và tìm ra kết quả.
Ví dụ:
lim (x->2) (x^2 - 4) / (x - 2) = lim (x->2) (x - 2)(x + 2) / (x - 2) = lim (x->2) (x + 2) = 4Tương tự như câu a, ta áp dụng định nghĩa giới hạn và các tính chất để tính giới hạn của hàm số trong câu b. Trong trường hợp hàm số phức tạp hơn, ta có thể sử dụng phương pháp nhân liên hợp để đơn giản hóa biểu thức.
Đối với câu c, ta cần chú ý đến các trường hợp giới hạn vô định. Trong trường hợp này, ta có thể sử dụng quy tắc L'Hôpital để tính giới hạn.
Kiến thức về giới hạn có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của toán học, đặc biệt là trong giải tích. Nó là nền tảng để hiểu và giải quyết các bài toán về đạo hàm, tích phân, và các bài toán liên quan đến sự biến đổi của hàm số.
Để củng cố kiến thức về giới hạn, bạn có thể luyện tập thêm các bài tập tương tự trong sách bài tập toán 12 Kết nối tri thức hoặc trên các trang web học toán online.
Bài 1.6 trang 9 sách bài tập toán 12 Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh hiểu rõ hơn về định nghĩa và các tính chất của giới hạn. Bằng cách nắm vững kiến thức và áp dụng các phương pháp phù hợp, bạn có thể giải quyết bài tập này một cách hiệu quả và tự tin hơn trong quá trình học tập.
