Bài 2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Chào mừng bạn đến với bài học về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức. Bài học này thuộc SBT Toán Tập 1, Chương 1, tập trung vào ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.

Chúng tôi sẽ cung cấp các phương pháp giải bài tập một cách chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán liên quan.

Hãy cùng giaibaitoan.com khám phá những kiến thức quan trọng này!

Bài 2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số - SBT Toán 12 - Kết nối tri thức

Bài 2 trong sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức tập trung vào một trong những ứng dụng quan trọng nhất của đạo hàm: tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số. Việc nắm vững phương pháp này không chỉ giúp giải quyết các bài toán trong sách giáo khoa mà còn có ứng dụng thực tế trong nhiều lĩnh vực khác.

I. Khái niệm cơ bản

Để hiểu rõ về GTLN và GTNN của hàm số, chúng ta cần nắm vững các khái niệm sau:

Điểm cực trị: Điểm mà tại đó hàm số đạt cực đại hoặc cực tiểu.
Cực đại: Điểm mà tại đó hàm số đạt giá trị lớn nhất trong một khoảng nào đó.
Cực tiểu: Điểm mà tại đó hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trong một khoảng nào đó.

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng có thể xảy ra tại các điểm cực trị hoặc tại các đầu mút của khoảng đó.

II. Phương pháp tìm GTLN và GTNN của hàm số

Để tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x) trên một khoảng [a, b], ta thực hiện các bước sau:

Tính đạo hàm f'(x).
Tìm các điểm cực trị: Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0.
Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và các đầu mút của khoảng [a, b].
So sánh các giá trị vừa tính được: Giá trị lớn nhất trong số đó là GTLN của hàm số trên khoảng [a, b], giá trị nhỏ nhất là GTNN.

III. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2 trên khoảng [-1, 3].

Giải:

f'(x) = 3x² - 6x
Giải phương trình 3x² - 6x = 0, ta được x = 0 và x = 2.
Tính giá trị của hàm số tại các điểm x = -1, x = 0, x = 2, x = 3:

f(-1) = (-1)³ - 3(-1)² + 2 = -2
f(0) = 0³ - 3(0)² + 2 = 2
f(2) = 2³ - 3(2)² + 2 = -2
f(3) = 3³ - 3(3)² + 2 = 2

So sánh các giá trị, ta thấy GTLN của hàm số trên khoảng [-1, 3] là 2, GTNN là -2.

IV. Lưu ý quan trọng

Khi tìm GTLN và GTNN của hàm số, cần lưu ý:

Kiểm tra xem hàm số có liên tục trên khoảng [a, b] hay không.
Nếu hàm số không liên tục, cần chia khoảng [a, b] thành các khoảng nhỏ hơn và tìm GTLN và GTNN trên từng khoảng.
Đảm bảo rằng các điểm cực trị tìm được nằm trong khoảng [a, b].