Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 12 Kết nối tri thức. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải bài 1.14 trang 14 một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Chúng tôi hiểu rằng việc giải toán đôi khi có thể gặp khó khăn, đặc biệt là với những bài tập đòi hỏi sự tư duy và vận dụng kiến thức. Vì vậy, chúng tôi luôn cố gắng cung cấp những lời giải rõ ràng, chi tiết và dễ tiếp thu nhất.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau: a) (fleft( x right) = xsqrt {4 - {x^2}} , - 2 le x le 2); b) (fleft( x right) = x - cos x, - frac{pi }{2} le x le frac{pi }{2}).
Đề bài
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:
a) \(f\left( x \right) = x\sqrt {4 - {x^2}} , - 2 \le x \le 2\);
b) \(f\left( x \right) = x - \cos x, - \frac{\pi }{2} \le x \le \frac{\pi }{2}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Đây là bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn:
- Tìm các điểm thuộc đoạn đang xét mà tại đó giá trị đạo hàm bằng không hoặc không tồn tại.
- Tính giá trị của hàm số tại các điểm vừa tìm được ở bước trước và tại biên của đoạn đang xét.
- Tìm số lớn nhất, nhỏ nhất trong các số vừa tính được ở bước trước ta thu được giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên đoạn.
Lời giải chi tiết
a) Ta có \(f'\left( x \right) = \sqrt {4 - {x^2}} - \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }} = \frac{{4 - 2{x^2}}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}\).
Khi đó \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{4 - 2{x^2}}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow 4 - 2{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = - \sqrt 2 \) hoặc \(x = \sqrt 2 \) .
Ta cần tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 2;2} \right]\).
Ta có: \(f\left( { - 2} \right) = \left( { - 2} \right) \cdot \sqrt {4 - {{\left( { - 2} \right)}^2}} = 0;{\rm{ }}f\left( 2 \right) = 2 \cdot \sqrt {4 - {2^2}} = 0\);
\(f\left( { - \sqrt 2 } \right) = \left( { - \sqrt 2 } \right) \cdot \sqrt {4 - {{\left( { - \sqrt 2 } \right)}^2}} = - 2;{\rm{ }}f\left( {\sqrt 2 } \right) = \sqrt 2 \cdot \sqrt {4 - {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} = 2\).
Do đó, \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - \sqrt 2 } \right) = - 2\); \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( {\sqrt 2 } \right) = 2\).
b) Ta có \(f'\left( x \right) = 1 + \sin x\). Ta thấy \(0 < \sin x < 1{\rm{ }}\forall {\rm{x}} \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) suy ra \(\sin x + 1 \ne 0\)\(\forall {\rm{x}} \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\).
Do đó, trong khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\), phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) vô nghiệm.
Ta có: \(f\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = - \frac{\pi }{2} - \cos \left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = - \frac{\pi }{2};{\rm{ }}f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{2} - \cos \frac{\pi }{2} = \frac{\pi }{2}\).
Vậy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = - \frac{\pi }{2}\); \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]} f\left( x \right) = f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{2}\).
Bài 1.14 trang 14 sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức yêu cầu chúng ta thực hiện một số phép biến đổi lượng giác để tìm giá trị của biểu thức. Để giải bài này, chúng ta cần nắm vững các công thức lượng giác cơ bản, đặc biệt là các công thức cộng và trừ góc, công thức nhân đôi và công thức hạ bậc.
Đề bài thường yêu cầu chúng ta chứng minh một đẳng thức lượng giác hoặc tìm giá trị của một biểu thức lượng giác. Việc phân tích đề bài một cách cẩn thận sẽ giúp chúng ta xác định được phương pháp giải phù hợp.
(Ở đây sẽ là lời giải chi tiết cho bài 1.14, bao gồm các bước biến đổi lượng giác cụ thể, giải thích rõ ràng từng bước và kết quả cuối cùng. Lời giải sẽ được trình bày một cách logic và dễ hiểu, sử dụng các ký hiệu toán học chính xác.)
Để giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải bài 1.14, chúng ta sẽ xem xét một ví dụ minh họa. Sau đó, chúng ta sẽ cung cấp một số bài tập tương tự để bạn luyện tập và củng cố kiến thức.
(Ví dụ minh họa sẽ có một bài toán tương tự bài 1.14, được giải chi tiết để người đọc có thể so sánh và học hỏi.)
Kiến thức lượng giác có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của đời sống và khoa học, như:
Bài 1.14 trang 14 sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp bạn rèn luyện kỹ năng biến đổi lượng giác. Hy vọng rằng với hướng dẫn chi tiết này, bạn đã có thể giải bài tập một cách tự tin và hiệu quả. Hãy tiếp tục luyện tập và khám phá thêm nhiều bài tập thú vị khác trên giaibaitoan.com!
