Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 12 Kết nối tri thức. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn từng bước giải bài 1.64 trang 36, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những giải pháp học tập hiệu quả nhất, giúp bạn tiết kiệm thời gian và đạt kết quả tốt nhất.
Cho hàm số (y = {x^3} - 3{x^2} + 2) có đồ thị (C). a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. b) Viết phương trình tiếp tuyến (Delta ) của đồ thị (C) tại tâm đối xứng của nó. Chứng minh rằng (Delta ) là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của (C). c) Tìm các giá trị của tham số (m) để phương trình ({x^3} - 3{x^2} - m = 0) có ba nghiệm phân biệt.
Đề bài
Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\) có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Viết phương trình tiếp tuyến \(\Delta \) của đồ thị (C) tại tâm đối xứng của nó. Chứng minh rằng \(\Delta \) là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của (C).
c) Tìm các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({x^3} - 3{x^2} - m = 0\) có ba nghiệm phân biệt.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ý a: Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
Ý b: Hoành độ tâm đối xứng là nghiệm của đạo hàm cấp 2. Tiếp tuyến tại điểm có hệ số góc là đạo hàm cấp 1 tại hoành độ điểm đó, từ đây ta viết được phương trình tiếp tuyến cần tìm cũng như tìm được giá trị nhỏ nhất của hệ số góc tiếp tuyến một cách tổng quát.
Ý c: Sử dụng sử dụng sự tương giao giữa hai đồ thị, số nghiệm phương trình là số giao điểm của hai đồ thị, kết hợp với đồ thị đã vẽ để giải quyết bài toán.
Lời giải chi tiết
a) Xét hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\).
Tập xác định: \(\mathbb{R}\).
+ Sự biến thiên:
Ta có \(y' = 3{x^2} - 6x\) suy ra \(y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 2\).
Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\), nghịch biến trên \(\left( {0;2} \right)\).
Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\) và \({y_{CĐ}} = 2\).
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 2\) và \({y_{CT}} = - 2\).
Giới hạn tại vô cực: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \pm \infty \).
Lập bảng biến thiên:
+ Đồ thị: Đồ thị nhận \(I\left( {1;0} \right)\) làm tâm đối xứng.
b) Ta có \(\Delta \) là tiếp tuyến của (C) tại \(I\left( {1;0} \right)\) suy ra \(\Delta \) là đường thẳng có hệ số góc là \(y'\left( 1 \right)\).
Phương trình đường thẳng \(\Delta \): \(y = y'\left( 1 \right)\left( {x - 1} \right) + y\left( 1 \right) \Leftrightarrow y = - 3\left( {x - 1} \right) + 0 \Leftrightarrow y = - 3x + 3\).
Các tiếp tuyến của (C) có hệ số góc tổng quát là \(y' = 3{x^2} - 6x = 3\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) - 3 = 3{\left( {x - 1} \right)^2} - 3 \ge 3\forall x\)
Suy ra hệ số góc có giá trị nhỏ nhất là -3.
Vậy \(\Delta \) là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của (C).
c) Xét phương trình \({x^3} - 3{x^2} - m = 0 \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} + 2 = m + 2{\rm{ }}\left( 1 \right)\).
Số nghiệm của phương trình trên là số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng \(y = m + 2\).
Từ đồ thị (C) ta thấy, đồ thị (C) cắt đường thẳng \(y = m + 2\) tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi
\( - 2 < m + 2 < 2 \Leftrightarrow - 4 < m < 0\).
Vậy \( - 4 < m < 0\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài 1.64 trang 36 sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức thuộc chương trình học về đạo hàm. Bài toán này thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số để giải quyết các bài toán thực tế, hoặc chứng minh các đẳng thức liên quan đến đạo hàm.
(Nội dung đề bài sẽ được chèn vào đây. Ví dụ: Cho hàm số f(x) = x^3 - 3x^2 + 2. Tìm đạo hàm f'(x) và giải phương trình f'(x) = 0.)
Để giải bài 1.64 trang 36, chúng ta cần nắm vững các kiến thức sau:
(Lời giải chi tiết sẽ được trình bày từng bước, kèm theo giải thích rõ ràng. Ví dụ:)
Để hiểu rõ hơn về cách giải bài toán này, chúng ta cùng xem xét một ví dụ minh họa:
(Ví dụ minh họa sẽ được trình bày chi tiết, kèm theo lời giải.)
Ngoài ra, bạn có thể tham khảo thêm các bài tập tương tự sau:
Khi giải bài toán về đạo hàm, bạn cần lưu ý những điều sau:
Bài 1.64 trang 36 sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức là một bài toán quan trọng giúp bạn củng cố kiến thức về đạo hàm. Hy vọng với lời giải chi tiết và các lưu ý trên, bạn sẽ tự tin hơn trong quá trình học tập và giải toán.
Giaibaitoan.com luôn đồng hành cùng bạn trên con đường chinh phục môn Toán. Chúc bạn học tập tốt!
