Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 12. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn cách giải bài 2.14 trang 46 sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp nội dung chất lượng cao, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Cho hình lập phương (ABCD.A'B'C'D') có độ dài các cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng sau theo a: a) (overrightarrow {AC} cdot overrightarrow {B'D'} ); b) (overrightarrow {BD} cdot overrightarrow {B'C'} ); c) (overrightarrow {A'B'} cdot overrightarrow {AC'} ).
Đề bài
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có độ dài các cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng sau theo a:
a) \(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {B'D'} \)
b) \(\overrightarrow {BD} \cdot \overrightarrow {B'C'} \)
c) \(\overrightarrow {A'B'} \cdot \overrightarrow {AC'} \)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ý a: Đưa hai vectơ về một gốc, ta thấy hai vectơ vuông góc.
Ý b: : Đưa hai vectơ về một gốc, từ đó xác định góc giữa chúng từ áp dụng công thức tích vô hướng để giải.
Ý c: Đưa hai vectơ về một gốc, áp dụng kiến thức về định lý ba đường vuông góc trong quá trình tìm cạnh và góc, cuối cùng tính toán, áp dụng công thức để tìm tích vô hướng.
Lời giải chi tiết
a) Ta có \(\overrightarrow {B'D'} = \overrightarrow {BD} \). Mặt khác \(BD \bot AC\)(do ABCD là hình vuông) hay \(\overrightarrow {BD} \bot \overrightarrow {AC} \),
suy ra \(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {B'D'} = \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} = 0\).
b) Ta có \(\overrightarrow {B'C'} = \overrightarrow {BC} \). Suy ra :
\(\overrightarrow {BD} \cdot \overrightarrow {B'C'} = \overrightarrow {BD} \cdot \overrightarrow {BC} = BD \cdot BC \cdot \cos \left( {\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {BC} } \right) = a\sqrt 2 \cdot a \cdot \cos \widehat {DBC} = {a^2}\sqrt 2 \cdot \cos {45^ \circ } = {a^2}\sqrt 2 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = {a^2}\).
c) Ta có \(\overrightarrow {A'B'} = \overrightarrow {AB} \). Suy ra \(\overrightarrow {A'B'} \cdot \overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC'} = AB \cdot AC' \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC'} } \right){\rm{ }}\left( 1 \right)\).
Ta sẽ tính cạnh \(AC'\) và xác định góc \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC'} } \right)\).
Ta có \(CB \bot AB\) suy ra \(C'B \bot AB\), do đó tam giác \(ABC'\) vuông tại \(B\).
Xét tam giác \(ABC'\) có \(AC' = \sqrt {A{B^2} + B{{C'}^2}} = \sqrt {{a^2} + 2{a^2}} = a\sqrt 3 \).
Lại có \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC'} } \right) = \widehat {BAC'}\) suy ra \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC'} } \right) = \cos \widehat {BAC'} = \frac{{AB}}{{AC'}} = \frac{a}{{a\sqrt 3 }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).
Thay \(AC' = a\sqrt 3 \) và \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC'} } \right) = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\) vào \(\left( 1 \right)\) ta được:
\(\overrightarrow {A'B'} \cdot \overrightarrow {AC'} = AB \cdot AC' \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC'} } \right) = a \cdot a\sqrt 3 \cdot \frac{1}{{\sqrt 3 }} = {a^2}\).
Bài 2.14 trang 46 sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế. Bài toán này thường yêu cầu học sinh phân tích hàm số, tìm đạo hàm, và sử dụng đạo hàm để xác định các điểm cực trị, khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Trước khi bắt đầu giải bài, chúng ta cần đọc kỹ đề bài và xác định rõ yêu cầu. Thông thường, đề bài sẽ cho một hàm số và yêu cầu tìm các yếu tố liên quan đến hàm số đó, chẳng hạn như:
Để giải quyết bài tập về đạo hàm một cách hiệu quả, chúng ta có thể áp dụng các phương pháp sau:
(Giả sử đề bài là: Tìm đạo hàm của hàm số f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1)
Giải:
Để tìm đạo hàm của hàm số f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1, ta sử dụng quy tắc tính đạo hàm của tổng và hiệu, cũng như quy tắc tính đạo hàm của lũy thừa:
f'(x) = (x^3)' - (3x^2)' + (2x)' - (1)'
f'(x) = 3x^2 - 6x + 2 - 0
f'(x) = 3x^2 - 6x + 2
Vậy, đạo hàm của hàm số f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1 là f'(x) = 3x^2 - 6x + 2.
(Giả sử đề bài là: Tìm các điểm cực trị của hàm số f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1)
Giải:
Ta đã tìm được đạo hàm của hàm số f(x) là f'(x) = 3x^2 - 6x + 2. Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình f'(x) = 0:
3x^2 - 6x + 2 = 0
Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai, ta có:
x = (6 ± √(36 - 4*3*2)) / (2*3)
x = (6 ± √12) / 6
x = (6 ± 2√3) / 6
x = 1 ± √3 / 3
Vậy, hàm số có hai điểm cực trị là x1 = 1 - √3 / 3 và x2 = 1 + √3 / 3.
Bài 2.14 trang 46 sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế. Hy vọng rằng, với hướng dẫn chi tiết và các ví dụ minh họa trên, bạn đã có thể tự tin giải quyết bài tập này một cách hiệu quả.
