Chương 4. Nguyên hàm và tích phân

Chương 4: Nguyên hàm và tích phân - SBT Toán 12 - Kết nối tri thức

Chương 4 trong sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức tập trung vào hai khái niệm cốt lõi của giải tích: nguyên hàm và tích phân. Đây là những công cụ mạnh mẽ để giải quyết nhiều bài toán thực tế trong khoa học, kỹ thuật và kinh tế.

I. Nguyên hàm

Nguyên hàm của một hàm số f(x) là một hàm số F(x) sao cho đạo hàm của F(x) bằng f(x), tức là F'(x) = f(x). Việc tìm nguyên hàm được gọi là phép tính tích phân bất định. Một hàm số có vô số nguyên hàm, khác nhau bởi một hằng số cộng. Công thức tính nguyên hàm cơ bản:

• ∫xⁿ dx = (xⁿ⁺¹)/(n+1) + C (n ≠ -1)
• ∫1/x dx = ln|x| + C
• ∫e^x dx = e^x + C
• ∫sin(x) dx = -cos(x) + C
• ∫cos(x) dx = sin(x) + C

II. Tích phân bất định

Tích phân bất định là một phép toán ngược của phép vi phân. Nó cho phép ta tìm ra một hàm số khi biết đạo hàm của nó. Ký hiệu tích phân bất định là ∫f(x) dx.

III. Tích phân xác định

Tích phân xác định là một phép toán tính diện tích dưới đường cong của một hàm số trong một khoảng xác định. Ký hiệu tích phân xác định là ∫_a^b f(x) dx, trong đó a và b là giới hạn dưới và giới hạn trên của khoảng tích phân.

IV. Các phương pháp tính tích phân

Có nhiều phương pháp để tính tích phân, bao gồm:

• Phương pháp đổi biến số: Sử dụng để đơn giản hóa tích phân bằng cách thay đổi biến số.
• Phương pháp tích phân từng phần: Sử dụng để tính tích phân của tích hai hàm số. Công thức: ∫u dv = uv - ∫v du
• Phương pháp phân tích thành nhân tử: Sử dụng để phân tích biểu thức dưới dấu tích phân thành các nhân tử đơn giản hơn.

V. Ứng dụng của nguyên hàm và tích phân

Nguyên hàm và tích phân có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau, bao gồm:

• Tính diện tích: Tính diện tích của các hình phẳng giới hạn bởi các đường cong.
• Tính thể tích: Tính thể tích của các vật thể.
• Tính độ dài đường cong: Tính độ dài của một đường cong.
• Tính công: Tính công thực hiện bởi một lực.

VI. Bài tập minh họa

Bài 1: Tính ∫(2x + 1) dx

Giải:

∫(2x + 1) dx = ∫2x dx + ∫1 dx = 2∫x dx + ∫1 dx = 2(x²/2) + x + C = x² + x + C

Bài 2: Tính ∫₀¹ x² dx

Giải:

∫₀¹ x² dx = [x³/3]₀¹ = (1³/3) - (0³/3) = 1/3

VII. Lời khuyên khi học tập

Để nắm vững kiến thức về nguyên hàm và tích phân, các em cần:

• Nắm vững các định nghĩa và công thức cơ bản.
• Luyện tập thường xuyên các bài tập khác nhau.
• Hiểu rõ các phương pháp tính tích phân và biết khi nào nên sử dụng phương pháp nào.
• Áp dụng kiến thức vào giải quyết các bài toán thực tế.

giaibaitoan.com hy vọng rằng với những kiến thức và bài tập được cung cấp trong chuyên mục này, các em sẽ học tập tốt môn Toán 12 và đạt được kết quả cao trong các kỳ thi.