Bài 13. Ứng dụng hình học của tích phân

Bài 13. Ứng dụng hình học của tích phân - SBT Toán 12 - Kết nối tri thức: Giải chi tiết

Bài 13 trong sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức tập trung vào việc ứng dụng tích phân để giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến hình học. Cụ thể, chúng ta sẽ tìm hiểu cách tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong và trục tọa độ, cũng như tính thể tích của các vật thể tròn xoay khi quay một vùng phẳng quanh một trục.

I. Kiến thức cần nắm vững

1. Tích phân bất định và tích phân xác định: Hiểu rõ khái niệm, tính chất và các phương pháp tính tích phân.
2. Diện tích hình phẳng: Biết cách xác định giới hạn tích phân và tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong.
3. Thể tích vật thể tròn xoay: Nắm vững phương pháp đĩa và phương pháp vỏ để tính thể tích vật thể tròn xoay.

II. Các dạng bài tập thường gặp

1. Tính diện tích hình phẳng

Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b, ta sử dụng công thức:

S = ∫_a^b |f(x)| dx

Trong đó, |f(x)| là giá trị tuyệt đối của hàm số f(x). Nếu f(x) luôn dương hoặc luôn âm trên đoạn [a, b], ta có thể bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

2. Tính thể tích vật thể tròn xoay bằng phương pháp đĩa

Nếu quay vùng phẳng giới hạn bởi đường cong y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox, ta được một vật thể tròn xoay có thể tích:

V = π ∫_a^b [f(x)]² dx

3. Tính thể tích vật thể tròn xoay bằng phương pháp vỏ

Nếu quay vùng phẳng giới hạn bởi đường cong x = g(y), trục Oy và hai đường thẳng y = c, y = d quanh trục Oy, ta được một vật thể tròn xoay có thể tích:

V = 2π ∫_c^d g(y) dy

III. Bài tập minh họa

Bài tập 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x², trục Ox và đường thẳng x = 2.

Giải: Diện tích hình phẳng là:

S = ∫₀² x² dx = [x³/3]₀² = 8/3

Bài tập 2: Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay vùng phẳng giới hạn bởi đường cong y = √x, trục Ox và đường thẳng x = 4 quanh trục Ox.

Giải: Thể tích vật thể tròn xoay là:

V = π ∫₀⁴ (√x)² dx = π ∫₀⁴ x dx = π [x²/2]₀⁴ = 8π

IV. Luyện tập và củng cố

Để nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập về ứng dụng hình học của tích phân, bạn nên luyện tập thêm các bài tập trong sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức và các đề thi thử. Hãy chú trọng việc hiểu rõ bản chất của từng dạng bài và áp dụng linh hoạt các công thức và phương pháp đã học.

Giaibaitoan.com hy vọng rằng với những kiến thức và hướng dẫn chi tiết trên, bạn sẽ tự tin giải quyết các bài tập về ứng dụng hình học của tích phân trong kỳ thi Toán 12 sắp tới. Chúc bạn học tập tốt!