Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 12 Kết nối tri thức. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn từng bước giải bài 1.55 trang 34, giúp bạn nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán.
Chúng tôi cam kết cung cấp nội dung chính xác, cập nhật và phù hợp với chương trình học Toán 12 hiện hành.
Cho hàm số (y = frac{{{x^2} + mx + 1}}{{x + m}}). Hàm số đạt cực đại tại (x = 2) khi A. (m = - 1). B. (m = - 3). C. (m in left{ { - 3; - 1} right}). D. (m in emptyset ).
Đề bài
Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + mx + 1}}{{x + m}}\). Hàm số đạt cực đại tại \(x = 2\) khi
A. \(m = - 1\)
B. \(m = - 3\)
C. \(m \in \left\{ { - 3; - 1} \right\}\)
D. \(m \in \emptyset \)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Tính đạo hàm cấp 1 và cấp 2 của hàm số.
+ Yêu cầu bài toán tương đương với đạo hàm cấp 1 tại \(x = 2\) bằng 0, đạo hàm cấp 2 tại \(x = 2\) âm. Ta sẽ tìm m thỏa mãn điều kiện này.
Lời giải chi tiết
Ta có \(y' = \frac{{\left( {2x + m} \right)\left( {x + m} \right) - \left( {{x^2} + mx + 1} \right) \cdot 1}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2mx + {m^2} - 1}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}}\).
Suy ra:
\(\begin{array}{l}y'' = {\left[ {\frac{{{x^2} + 2mx + {m^2} - 1}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}}} \right]^\prime } = \frac{{\left( {2x + 2m} \right){{\left( {x + m} \right)}^2} - 2\left( {x + m} \right)\left( {{x^2} + 2mx + {m^2} - 1} \right)}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}}\\{\rm{ }} = 2x + 2m - \frac{{2\left( {{x^2} + 2mx + {m^2} - 1} \right)}}{{x + m}}\end{array}\).
Để hàm số đạt cực đại tại \(x = 2\) thì \(y'\left( 2 \right) = 0\) và \(y''\left( 2 \right) < 0\).
Ta có \(y'\left( 2 \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{{2^2} + 2m \cdot 2 + {m^2} - 1}}{{{{\left( {2 + m} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow 3 + 4m + {m^2} = 0 \Leftrightarrow m = - 1\) hoặc \(m = - 3\).
Với \(m = - 1\) ta có \(y''\left( 2 \right) = 2 \cdot 2 + 2 \cdot \left( { - 1} \right) - \frac{{2\left( {{2^2} + 2\left( { - 1} \right) \cdot 2 + {{\left( { - 1} \right)}^2} - 1} \right)}}{{2 - 1}} = 2 > 0\), do đó \(x = 2\) là một điểm cực tiểu của hàm số.
Với \(m = - 3\) ta có \(y''\left( 2 \right) = 2 \cdot 2 + 2 \cdot \left( { - 3} \right) - \frac{{2\left( {{2^2} + 2\left( { - 3} \right) \cdot 2 + {{\left( { - 3} \right)}^2} - 1} \right)}}{{2 - 3}} = - 2 < 0\), do đó \(x = 2\) là một điểm cực đại của hàm số.
Vậy để \(x = 2\) là một điểm cực đại của hàm số thì \(m = - 3\). Ta chọn đáp án B.
Bài 1.55 trang 34 sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức thuộc chương trình học về đạo hàm. Bài toán này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số để giải quyết các bài toán thực tế.
Trước khi đi vào giải bài, chúng ta cần phân tích kỹ đề bài để xác định rõ yêu cầu và các dữ kiện đã cho. Bài 1.55 thường liên quan đến việc tìm đạo hàm của một hàm số, xác định các điểm cực trị, hoặc khảo sát sự biến thiên của hàm số.
Để giải bài 1.55 trang 34, ta thực hiện theo các bước sau:
Ví dụ, giả sử bài toán yêu cầu tìm đạo hàm của hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2.
Giải:
f'(x) = 3x2 - 6x
Để tìm điểm cực trị, ta giải phương trình f'(x) = 0:
3x2 - 6x = 0
3x(x - 2) = 0
Vậy, x = 0 hoặc x = 2.
Để xác định xem x = 0 và x = 2 là điểm cực đại hay cực tiểu, ta xét dấu của đạo hàm cấp hai:
f''(x) = 6x - 6
f''(0) = -6 < 0, vậy x = 0 là điểm cực đại.
f''(2) = 6 > 0, vậy x = 2 là điểm cực tiểu.
Kết luận: Hàm số f(x) có điểm cực đại tại x = 0 và điểm cực tiểu tại x = 2.
Để củng cố kiến thức, bạn có thể làm thêm các bài tập tương tự trong sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức. Hãy chú trọng vào việc phân tích đề bài và áp dụng các quy tắc đạo hàm một cách chính xác.
Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, chẳng hạn như:
Việc nắm vững kiến thức về đạo hàm sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán thực tế một cách hiệu quả.
Bài 1.55 trang 34 sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức là một bài toán quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức về đạo hàm. Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, bạn đã có thể giải bài toán một cách dễ dàng và hiệu quả. Chúc bạn học tốt!
