Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 12 Kết nối tri thức. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn từng bước giải bài 1.38 trang 26, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những giải pháp học tập hiệu quả nhất, giúp bạn tiết kiệm thời gian và đạt kết quả tốt nhất.
Cho điểm (Aleft( {3;2} right)) trên mặt phẳng tọa độ. Một đường thẳng đi qua (A) cắt trục hoành tại (B), cắt trục tung tại (C) tạo thành một tam giác (OBC) nằm trong góc phần tư thứ nhất, với (O) là gốc tọa độ. a) Biết hoành độ điểm (B) là (x = t) với (t > 3). Tính diện tích tam giác (OBC) theo (t). Kí hiệu diện tích này là (Sleft( t right)). b) Khảo sát sự biến thiên của hàm số (Sleft( t right)). c) Tìm vị trí điểm (B) để diện tích tam giác (OBC) nhỏ nhất.
Đề bài
Cho điểm \(A\left( {3;2} \right)\) trên mặt phẳng tọa độ. Một đường thẳng đi qua \(A\) cắt trục hoành tại \(B\), cắt trục tung tại \(C\) tạo thành một tam giác \(OBC\) nằm trong góc phần tư thứ nhất, với \(O\) là gốc tọa độ.
a) Biết hoành độ điểm \(B\) là \(x = t\) với \(t > 3\). Tính diện tích tam giác \(OBC\) theo \(t\). Kí hiệu diện tích này là \(S\left( t \right)\).
b) Khảo sát sự biến thiên của hàm số \(S\left( t \right)\).
c) Tìm vị trí điểm \(B\) để diện tích tam giác \(OBC\) nhỏ nhất.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ý a:
+ Viết phương trình chính tắc đường thẳng đi qua hai điểm \(A\) và \(B\) với \(A\left( {3;2} \right);B\left( {t;0} \right)\).
+ Biểu diễn \(y\) theo \(x\) và \(t\), từ đó suy ra tung độ của C theo \(t\).
+ Tìm được diện tích \(S\left( t \right) = t \cdot {y_C}\).
Ý b: Khảo sát hàm số \(S\left( t \right)\).
Ý c: Từ bảng biến thiên suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Lời giải chi tiết
a) Đường thẳng đi qua \(A\) và \(B\) có phương trình \(\frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{{x - 3}}{{t - 3}}\) hay \(y = 2 - \frac{2}{{t - 3}}\left( {x - 3} \right)\).
Suy ra \(C\) có tung độ là \({y_C} = 2 - \frac{2}{{t - 3}}\left( {0 - 3} \right) = 2 + \frac{6}{{t - 3}}\).
Diện tích tam giác \(OBC\) là \(S\left( t \right) = t \cdot {y_C} = \frac{{2{t^2}}}{{t - 3}}\).
b) Xét hàm số \(S\left( t \right) = \frac{{2{t^2}}}{{t - 3}}\).
Tập xác định: \(\left( {3; + \infty } \right)\).
Sự biến thiên: \(S'\left( t \right) = {\left( {\frac{{2{t^2}}}{{t - 3}}} \right)^\prime } = \frac{{2{t^2} - 12t}}{{{{\left( {t - 3} \right)}^2}}}\).
Khi đó \(S'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{2{t^2} - 12t}}{{{{\left( {t - 3} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow 2{t^2} - 12t = 0 \Leftrightarrow t = 6\) do \(t > 3\).
+ Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {6; + \infty } \right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left( {3;6} \right)\).
+ Hàm số đạt cực tiểu tại \(t = 6\) với \({S_{CT}} = 24\).
+ Giới hạn tại vô cực \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) = + \infty \)
+ Bảng biến thiên:
c) Để diện tích tam giác \(OBC\) nhỏ nhất thì \(S\left( t \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Từ bảng biến thiên suy ra, giá trị nhỏ nhất của tam giác \(OBC\) là \(24\) khi \(t = 6\) khi đó \(B\left( {0;6} \right)\)
Bài 1.38 trang 26 sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức thuộc chương trình học về đạo hàm. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số để giải quyết các bài toán thực tế. Việc hiểu rõ các khái niệm và công thức đạo hàm là yếu tố then chốt để hoàn thành bài tập này một cách chính xác.
Bài tập 1.38 thường xoay quanh việc tính đạo hàm của các hàm số lượng giác, hàm số mũ, hàm số logarit, hoặc các hàm số tổng hợp. Đôi khi, bài tập còn yêu cầu học sinh tìm đạo hàm cấp hai, hoặc giải các phương trình đạo hàm.
Giả sử bài tập 1.38 yêu cầu tính đạo hàm của hàm số f(x) = sin(2x) + ex. Ta thực hiện như sau:
Việc giải bài tập 1.38 trang 26 không chỉ giúp bạn hiểu rõ hơn về đạo hàm mà còn là nền tảng quan trọng để học các kiến thức toán học nâng cao hơn. Đạo hàm là một công cụ mạnh mẽ được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật, như vật lý, kinh tế, và khoa học máy tính.
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức và kỹ năng cần thiết để giải bài 1.38 trang 26 sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức một cách hiệu quả. Chúc bạn học tập tốt và đạt kết quả cao!
