Bài 2.11 trang 45 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 12. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho bài 2.11 này, giúp các bạn học sinh nắm vững kiến thức và tự tin làm bài tập.
Cho hình lăng trụ đứng (ABCD.A'B'C'D'). Biết rằng (AA' = 2) và tứ giác (ABCD) là hình thoi có (AB = 1) và (widehat {ABC} = {60^ circ }), hãy tính góc giữa các cặp vectơ sau và từ đó tính tích vô hướng của mỗi cặp vectơ đó: a) (overrightarrow {AB} ) và (overrightarrow {A'D'} ); b) (overrightarrow {AA'} ) và (overrightarrow {BD} ); c) (overrightarrow {AB} ) và (overrightarrow {A'C'} );
Đề bài
Cho hình lăng trụ đứng \(ABCD.A'B'C'D'\). Biết rằng \(AA' = 2\) và tứ giác \(ABCD\) là hình thoi có \(AB = 1\) và \(\widehat {ABC} = {60^ \circ }\), hãy tính góc giữa các cặp vectơ sau và từ đó tính tích vô hướng của mỗi cặp vectơ đó:
a) \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {A'D'} \)
b) \(\overrightarrow {AA'} \) và \(\overrightarrow {BD} \)
c) \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {A'C'} \)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ý a: Đưa hai vectơ về cùng gốc, nghĩa là từ một trong hai vectơ xác định một vectơ bằng vectơ đó sao cho nó có cùng điểm đầu với vectơ còn lại (sử dụng các yếu tố, song song, bằng nhau xuất hiện trong hình lăng trụ kết hợp với khái niệm hai vectơ bằng nhau). Sau khi xác định được vectơ đó ta sẽ tìm được góc giữa hai vectơ cần tìm là một góc nào đó trong hình, dùng kiến thức hình học phẳng về hình thoi đã học để tìm góc. Từ góc tìm được ta tiếp tục tính tích vô hướng giữa haii vectơ bằng công thức đã học.
Ý b: Chứng minh hai vectơ vuông góc, từ đó xác định được góc và tích vô hướng.
Ý c: Tương tự ý a, ngoài ra còn sử dụng kiến thức hình học phẳng trong tam giác ở bước tìm số đo góc.
Lời giải chi tiết
a) Ta có \(\overrightarrow {A'D'} = \overrightarrow {AD} \) suy ra \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'D'} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right) = \widehat {BAC}\).
Mặt khác, xét hình thoi \(ABCD\) có \(\widehat {BAC} = \frac{{{{360}^ \circ } - 2 \cdot \widehat {ABC}}}{2} = \frac{{{{360}^ \circ } - 2 \cdot 60}}{2} = {120^ \circ }\).
Do đó \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'D'} } \right) = {120^ \circ }\). Khi đó ta có \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {A'D'} = AB \cdot AD \cdot \cos {120^ \circ } = 1 \cdot 1 \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) = - \frac{1}{2}\).
b) Vì \(AA' \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(AA' \bot BD\), do đó \(\overrightarrow {AA'} \bot \overrightarrow {BD} \) hay \(\left( {\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {BD} } \right) = {90^ \circ }\).
Khi đó ta có \(\overrightarrow {AA'} \cdot \overrightarrow {BD} = 0\).
c) Ta có \(\overrightarrow {A'C'} = \overrightarrow {AC} \) suy ra \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'C'} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \widehat {BAC}\).
Mặt khác, xét hình tam giác \(ABC\) có \(AB = BC = 1\) nên tam giác \(ABC\) cân tại B,
mà \(\widehat {ABC} = {60^ \circ }\) suy ra tam giác \(ABC\) là tam giác đều, vì vậy \(\widehat {BAC} = {60^ \circ }\).
Do đó \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'C'} } \right) = {60^ \circ }\). Khi đó ta có \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {A'C'} = AB \cdot A'C' \cdot \cos {60^ \circ } = 1 \cdot 1 \cdot \left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{2}\).
Bài 2.11 trang 45 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức thuộc chương trình học về đạo hàm của hàm số. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về:
Bài 2.11 thường yêu cầu học sinh thực hiện các thao tác sau:
Để giúp các bạn học sinh hiểu rõ hơn về cách giải bài 2.11, chúng tôi xin trình bày lời giải chi tiết như sau:
Bước 1: Xác định quy tắc tính đạo hàm
Để tính đạo hàm của hàm số f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1, ta sử dụng quy tắc tính đạo hàm của tổng và hiệu, cũng như quy tắc tính đạo hàm của hàm đa thức.
Bước 2: Tính đạo hàm của từng thành phần
Bước 3: Kết hợp các kết quả
Vậy, đạo hàm của hàm số f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1 là f'(x) = 3x^2 - 6x + 2.
Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như:
Bài 2.11 trang 45 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm. Hy vọng với lời giải chi tiết và các mẹo giải bài tập hiệu quả mà chúng tôi cung cấp, các bạn học sinh sẽ tự tin hơn khi làm bài tập và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
